Um fluido se desloca no sentido se x, em um bocal convergente com R1=2 cm, com perfil de velocidade dado por u1(r)=U máx [1-r^1 / 2R1^1 / 2]á e sai com perfil u2(r), após uma redução para R2=1 cm. Determine u2(r).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de dinâmica dos fluidos envolvendo um bocal convergente. O fluido está se movendo na direção $ x $ com um perfil de velocidade inicial $ u_1® $ dentro de um bocal com raio $ R_1 = 2 $ cm. Depois, o bocal diminui para um raio $ R_2 = 1 $ cm, e a gente quer descobrir como fica o novo perfil de velocidade $ u_2® $. Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Continuidade, que basicamente diz que a massa do fluido que entra no bocal tem que ser igual à que sai, desde que a densidade seja constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o perfil de velocidade $ u_1® $. Ele nos diz como a velocidade do fluido varia de uma posição radial $ r $ até o centro do bocal. A fórmula dada é:
u1(r) á
Aqui, $ U_{máx} $ é a velocidade máxima no centro do bocal ($ r = 0 $).

Passo 3

Agora, para encontrar $ u_2® $, precisamos usar o Princípio da Continuidade. Esse princípio nos diz que:
u2(r)
Onde:
  • $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das seções transversais nos raios $ R_1 $ e $ R_2 $, respectivamente.
  • $ \overline{u}_1 $ e $ \overline{u}_2 $ são as velocidades médias nos respectivos raios.
Como o bocal está reduzindo o raio, a área está diminuindo, então a velocidade média deve aumentar para manter a continuidade.

Passo 4

Vamos calcular as áreas $ A_1 $ e $ A_2 $:
A1
Então,
A2
A = pi R^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular as velocidades médias $ \overline{u}_1 $ e $ \overline{u}_2 $. A velocidade média é a média do perfil de velocidade sobre a área do bocal. Então:
u1
u2

Passo 6

Vamos calcular $ \overline{u}_1 $:
u1 á
u1 = 14pi integral0^2 Umáx [1 - r^1/22^1/2] cdot 2pi r , dr á
u1 = Umáx2 integral0^2 [1 - r^1/2raiz2] r , dr á
u1 = Umáx2 [ integral0^2 r , dr - 1raiz2 integral0^2 r^3/2 , dr ] á
u1 = Umáx2 [ r^22|0^2 - 1raiz2 25 r^5/2|0^2 ] á
u1 = Umáx2 [ 42 - 25raiz2 cdot 2^5/2 ] á
u1 = Umáx2 [ 2 - 25raiz2 cdot 4raiz2 ] á
u1 = Umáx2 [ 2 - 85 ] áá

Passo 7

Agora vamos aplicar o Princípio da Continuidade:
A1 cdot u1 = A2 cdot u2
4pi cdot Umáx5 = pi cdot u2 á
u2 = 4pi cdot Umáx5pi = 45 Umáx áá

Passo 8

Sabemos que no novo bocal com raio $ R_2 = 1 $ cm, o perfil de velocidade $ u_2® $ terá a mesma forma que $ u_1® $, mas com $ U_{máx} $ ajustado para $ \overline{u}_2 $. Então:
R2 = 1 á
Onde $ U’{máx} = \frac{4}{5} U{máx} $.

Resposta

O perfil de velocidade após a redução é dado por:
u2(r) = 45 Umáx [1 - r^1/21^1/2] = 45 Umáx (1 - raizr) áá

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