Considere a região e no plano .
Esboce e a descreva em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma região no plano definida por três condições:
– isso representa um círculo de raio 2, já que .
– isso limita a região para apenas a parte de cima do círculo, ou seja, o semicírculo superior.
– essa é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus, então a região será acima dessa linha.
Vamos precisar entender gráficos de círculos, linhas e como essas desigualdades se combinam para formar a região . Também vamos converter essas condições para coordenadas polares no final.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o círculo . Esse círculo tem centro na origem (0,0) e raio 2. No gráfico, desenhe um círculo com essas características.
Passo 3
Agora, a condição significa que estamos interessados apenas na parte superior desse círculo, ou seja, o semicírculo de cima.
Passo 4
A próxima condição é . Vamos desenhar a linha , que é uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45 graus com o eixo . A região que nos interessa é acima dessa linha.
Passo 5
Combinando todas as condições, a região é a parte do semicírculo superior que está acima da linha . Então, no gráfico, é uma fatia do semicírculo que fica acima dessa reta.
Passo 6
Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, e , e a condição do círculo vira .
Passo 7
A condição em coordenadas polares significa que está entre e radianos, pois estamos no semicírculo superior.
Passo 8
A condição em coordenadas polares fica . Dividindo os dois lados por (que é positivo), temos . Isso acontece quando .
Passo 9
Então, juntando tudo, em coordenadas polares, a região é definida por: