Considere a região e no plano .
Esboce e a descreva em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma região no plano definida por três condições:
  1. – isso representa um círculo de raio 2, já que .
  2. – isso limita a região para apenas a parte de cima do círculo, ou seja, o semicírculo superior.
  3. – essa é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus, então a região será acima dessa linha.
Vamos precisar entender gráficos de círculos, linhas e como essas desigualdades se combinam para formar a região . Também vamos converter essas condições para coordenadas polares no final.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o círculo . Esse círculo tem centro na origem (0,0) e raio 2. No gráfico, desenhe um círculo com essas características.

Passo 3

Agora, a condição significa que estamos interessados apenas na parte superior desse círculo, ou seja, o semicírculo de cima.

Passo 4

A próxima condição é . Vamos desenhar a linha , que é uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45 graus com o eixo . A região que nos interessa é acima dessa linha.

Passo 5

Combinando todas as condições, a região é a parte do semicírculo superior que está acima da linha . Então, no gráfico, é uma fatia do semicírculo que fica acima dessa reta.

Passo 6

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, e , e a condição do círculo vira .

Passo 7

A condição em coordenadas polares significa que está entre e radianos, pois estamos no semicírculo superior.

Passo 8

A condição em coordenadas polares fica . Dividindo os dois lados por (que é positivo), temos . Isso acontece quando .

Passo 9

Então, juntando tudo, em coordenadas polares, a região é definida por:

Resposta

A região em coordenadas polares é:

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