Considere a região e
no plano
.
Esboce
e a descreva em coordenadas polares.
Esboce
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma região
no plano
definida por três condições:
-
– isso representa um círculo de raio 2, já que . -
– isso limita a região para apenas a parte de cima do círculo, ou seja, o semicírculo superior. -
– essa é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus, então a região será acima dessa linha.
Vamos precisar entender gráficos de círculos, linhas e como essas desigualdades se combinam para formar a região
. Também vamos converter essas condições para coordenadas polares no final.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o círculo
. Esse círculo tem centro na origem (0,0) e raio 2. No gráfico, desenhe um círculo com essas características.
Passo 3
Agora, a condição
significa que estamos interessados apenas na parte superior desse círculo, ou seja, o semicírculo de cima.
Passo 4
A próxima condição é
. Vamos desenhar a linha
, que é uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45 graus com o eixo
. A região que nos interessa é acima dessa linha.
Passo 5
Combinando todas as condições, a região
é a parte do semicírculo superior que está acima da linha
. Então, no gráfico, é uma fatia do semicírculo que fica acima dessa reta.
Passo 6
Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares,
e
, e a condição do círculo
vira
.
Passo 7
A condição
em coordenadas polares significa que
está entre
e
radianos, pois estamos no semicírculo superior.
Passo 8
A condição
em coordenadas polares fica
. Dividindo os dois lados por
(que é positivo), temos
. Isso acontece quando
.
Passo 9
Então, juntando tudo, em coordenadas polares, a região
é definida por:
Resposta
A região
em coordenadas polares é: