Determine a forma da solução particular para
, onde
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a forma da solução particular dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar uma solução específica quando o lado direito da equação (a função
) é de um tipo que a gente consegue adivinhar a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função do lado direito da equação, que é
. Essa função é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma exponencial. No método dos coeficientes a determinar, assumimos que a solução particular terá uma forma semelhante à de
, mas multiplicada por um polinômio de grau igual ao de
, a menos que essa forma já seja uma solução da equação homogênea associada.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a equação homogênea associada:
. Resolvendo essa equação, encontramos as soluções complementares. Supondo que nenhuma das soluções complementares seja da forma
, onde
é o grau do polinômio, podemos seguir adiante sem preocuparmos com a repetição de termos.
Passo 4
Dado que
, vamos supor que a solução particular
tenha a forma:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar. Essa forma leva em conta o polinômio de grau 2 multiplicado por
, exatamente como
.
Passo 5
Então, a forma da solução particular para a equação
é:
Onde
,
e
são constantes a serem encontradas substituindo
na equação original.
Resposta
A forma da solução particular é
.
Exercícios relacionados
Considere a região e
no plano
.
Esboce e a descreva em coordenadas polares.
Esboce