Determine a forma da solução particular para , onde é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar a forma da solução particular dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar uma solução específica quando o lado direito da equação (a função ) é de um tipo que a gente consegue adivinhar a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função do lado direito da equação, que é . Essa função é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma exponencial. No método dos coeficientes a determinar, assumimos que a solução particular terá uma forma semelhante à de , mas multiplicada por um polinômio de grau igual ao de , a menos que essa forma já seja uma solução da equação homogênea associada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a equação homogênea associada: . Resolvendo essa equação, encontramos as soluções complementares. Supondo que nenhuma das soluções complementares seja da forma , onde é o grau do polinômio, podemos seguir adiante sem preocuparmos com a repetição de termos.

Passo 4

Dado que , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar. Essa forma leva em conta o polinômio de grau 2 multiplicado por , exatamente como .

Passo 5

Então, a forma da solução particular para a equação é:
Onde , e são constantes a serem encontradas substituindo na equação original.

Resposta

A forma da solução particular é .

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Determine a forma da solução particular para , onde é:
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Esboce e a descreva em coordenadas polares.