Determine a forma da solução particular para
, onde
é:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O que precisamos fazer aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais, especificamente procurando uma solução que se ajuste ao termo
do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente forma a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, voltando à nossa equação original:
Queremos encontrar uma solução particular
que satisfaça essa equação. Como o termo do lado direito é
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui,
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, podemos resolver para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial dada é:
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Considere a região e
no plano
.
Esboce e a descreva em coordenadas polares.
Esboce