Determine a forma da solução particular para , onde é:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O que precisamos fazer aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais, especificamente procurando uma solução que se ajuste ao termo do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente forma a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são e . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, voltando à nossa equação original:
Queremos encontrar uma solução particular que satisfaça essa equação. Como o termo do lado direito é , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui, é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, podemos resolver para :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução particular para a equação diferencial dada é:

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Determine a forma da solução particular para , onde é:
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