Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
, caso seja finito.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a região
definida por:
Queremos calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
O método dos discos nos diz que o volume
pode ser calculado pela integral:
onde
é a função que define a borda da região em relação ao eixo de rotação, e
são os limites de integração ao longo do eixo
.
Passo 3
No nosso caso, a função que define a borda superior da região é
. Como estamos girando em torno do eixo
,
. Agora precisamos determinar os limites de integração
e
.
Passo 4
A condição
nos dá o limite superior
. Para o limite inferior, observamos que
se aproxima de 0 quando
tende a menos infinito. Portanto, o limite inferior é
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido, podemos ignorar a constante.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Calculando os limites:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Resolva a integral
.
Mostre que o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno de
é
.
Uma projeção do aumento da população indica que daqui a
anos, a população de certa cidade será
mil habitantes. Estude o sinal da concavidade da função e explique o que isso significa.
Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento