Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região em torno do eixo , caso seja finito.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a região definida por:
Queremos calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

O método dos discos nos diz que o volume pode ser calculado pela integral:
onde é a função que define a borda da região em relação ao eixo de rotação, e são os limites de integração ao longo do eixo .

Passo 3

No nosso caso, a função que define a borda superior da região é . Como estamos girando em torno do eixo , . Agora precisamos determinar os limites de integração e .

Passo 4

A condição nos dá o limite superior . Para o limite inferior, observamos que se aproxima de 0 quando tende a menos infinito. Portanto, o limite inferior é .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido, podemos ignorar a constante.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Calculando os limites:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é .

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