Uma projeção do aumento da população indica que daqui a
anos, a população de certa cidade será
mil habitantes. Estude o sinal da concavidade da função e explique o que isso significa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma cidade ao longo do tempo, dada por
(em milhares de habitantes). O conteúdo que vamos utilizar aqui é o estudo da concavidade de funções, que nos ajuda a entender como a taxa de variação da população está se comportando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função
e analisar seu sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
, que representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que nos dá a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada
:
Passo 4
Com a segunda derivada
, vamos analisar seu sinal. O sinal da segunda derivada nos diz se a função está côncava para cima ou para baixo em cada intervalo de
.
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar quando
:
Passo 5
Agora, vamos dividir o eixo do tempo em intervalos com base no valor encontrado
e verificar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
: Se: Então,, a função é côncava para cima. -
Para
: Se: Então,, a função é côncava para baixo.
Resposta
A concavidade da função
muda de positiva para negativa no instante
anos. Isso significa que, antes de 3 anos, a taxa de crescimento da população estava aumentando (concavidade para cima), e após 3 anos, a taxa de crescimento começa a diminuir (concavidade para baixo).
Exercícios relacionados
Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
, caso seja finito.
Resolva a integral
.
Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento
Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento