Uma projeção do aumento da população indica que daqui a anos, a população de certa cidade será mil habitantes. Estude o sinal da concavidade da função e explique o que isso significa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma cidade ao longo do tempo, dada por (em milhares de habitantes). O conteúdo que vamos utilizar aqui é o estudo da concavidade de funções, que nos ajuda a entender como a taxa de variação da população está se comportando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar seu sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de , que representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que nos dá a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada :

Passo 4

Com a segunda derivada , vamos analisar seu sinal. O sinal da segunda derivada nos diz se a função está côncava para cima ou para baixo em cada intervalo de .
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar quando :

Passo 5

Agora, vamos dividir o eixo do tempo em intervalos com base no valor encontrado e verificar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para :
    Se :
    Então, , a função é côncava para cima.
  2. Para :
    Se :
    Então, , a função é côncava para baixo.

Resposta

A concavidade da função muda de positiva para negativa no instante anos. Isso significa que, antes de 3 anos, a taxa de crescimento da população estava aumentando (concavidade para cima), e após 3 anos, a taxa de crescimento começa a diminuir (concavidade para baixo).

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Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região em torno do eixo , caso seja finito.
Resolva a integral .
Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento
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