Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento f(x) = x^3 - 3 x^2 - 9 x + 15

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo. Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, chamada , nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular :
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde :
Simplificando a equação:
Resolvendo essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Com os pontos críticos e , vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos e testar o sinal de em cada um:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .

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