Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas e , e pela função , em que a densidade .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa de uma lâmina que está limitada pelas retas , , e pela função . A densidade dessa lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para calcular massas em regiões planas com densidades variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. Temos as retas e , que são verticais, e a reta , que é o eixo x. Além disso, temos a curva , que é uma hipérbole. Queremos a área limitada por essas curvas.
Passo 3
Para encontrar a massa, precisamos configurar uma integral dupla sobre a região definida. A massa é dada por:
Substituindo a densidade :
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como varia de 1 a 3, e para cada , varia de 0 a , nossos limites são:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Passo 6
Agora, integramos o resultado m = integral1^3 x , dx = 12x^2 |1^3 = 12(9) - 12(1) = 92 - 12 = 4 em relação a :