Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas y=0 e x=1, x=3, e pela função y=1x, em que a densidade rho(x, y)=x^2.
& x=r cos theta=rho sen phi cos theta & y=r sen theta=rho sen phi sen theta & z=z=rho cos phi & r^2=x^2+y^2 & r=rho sen phi & rho^2=x^2+y^2+z^2 & A=integral duplaR d A & m=integral duplaR rho(x, y) d A & phi=arcsen(rrho) theta=arctg(yx)
partial(x, y)partial(r, theta)=partial(x, y, z)partial(r, theta, z)=r e partial(x, y, z)partial(r, phi, theta)=rho^2 sen phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa de uma lâmina que está limitada pelas retas , , e pela função . A densidade dessa lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para calcular massas em regiões planas com densidades variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. Temos as retas e , que são verticais, e a reta , que é o eixo x. Além disso, temos a curva , que é uma hipérbole. Queremos a área limitada por essas curvas.

Passo 3

Para encontrar a massa, precisamos configurar uma integral dupla sobre a região m = integral duplaR rho(x, y) , dA definida. A massa m = integral duplaR x^2 , dA é dada por:
Substituindo a densidade :

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1x varia de 1 a 3, e para cada m = integral1^3 integral0^1x x^2 , dy , dx , varia de 0 a , nossos limites são:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^1x x^2 , dy = x^2 cdot y |0^1x = x^2 cdot (1x) - x^2 cdot 0 = x :

Passo 6

Agora, integramos o resultado m = integral1^3 x , dx = 12x^2 |1^3 = 12(9) - 12(1) = 92 - 12 = 4 em relação a :

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa.

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