Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume gerado quando a região no primeiro quadrante, delimitada pela curva e pelo eixo , é girada em torno do próprio eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo , cada “fatia” da região perpendicular ao eixo forma um disco. O volume total é a soma de todos esses discos. A fórmula para calcular o volume usando esse método é:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites de integração ao longo do eixo .
Passo 3
No nosso caso, a curva é e o eixo é . Como estamos no primeiro quadrante e a região é infinita, vamos integrar de até indo para o infinito. Então, os limites de integração são de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é . Aplicando isso:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a :
Passo 6
Calculando nos limites:
Quando , , então:
Quando :
Subtraindo os dois valores:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.