Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(f) integral1^infty e^xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias e aos testes de comparação para determinar a convergência. Vamos precisar usar o Teste da Comparação Direta ou o Teste da Comparação no Limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função quando vai para o infinito. Sabemos que cresce de forma muito rápida, bem mais rápido que qualquer potência de . Já o denominador, , também cresce, mas não dá conta de acompanhar o crescimento exponencial do numerador.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Comparação Direta. Queremos encontrar uma função integral1^infty e^x , dx = limb to infty [ e^x ]1^b = limb to infty (e^b - e) = infty que seja menor ou igual à nossa função para todo e cuja integral sabemos que diverge. Uma boa escolha é , porque sabemos que:
Então, diverge.

Passo 4

Vamos comparar as duas funções:
e^xx >= e^xx para todo x >= 1
Vemos que é uma igualdade óbvia, mas para aplicar o teste da comparação direta de forma útil, precisamos ajustar nossa comparação. Vamos usar o Teste da Comparação no Limite.

Passo 5

No Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite:
limx to infty e^xxe^x = limx to infty 1x = 0
Segundo o teste, se esse limite é um número finito diferente de zero e a integral de diverge, então a integral de também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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