Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias e aos testes de comparação para determinar a convergência. Vamos precisar usar o Teste da Comparação Direta ou o Teste da Comparação no Limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
quando
vai para o infinito. Sabemos que
cresce de forma muito rápida, bem mais rápido que qualquer potência de
. Já o denominador,
, também cresce, mas não dá conta de acompanhar o crescimento exponencial do numerador.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Comparação Direta. Queremos encontrar uma função
que seja menor ou igual à nossa função
para todo
e cuja integral sabemos que diverge. Uma boa escolha é
, porque sabemos que:
Então,
diverge.
Passo 4
Vamos comparar as duas funções:
Vemos que
é uma igualdade óbvia, mas para aplicar o teste da comparação direta de forma útil, precisamos ajustar nossa comparação. Vamos usar o Teste da Comparação no Limite.
Passo 5
No Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite:
Segundo o teste, se esse limite é um número finito diferente de zero e a integral de
diverge, então a integral de
também diverge.
Resposta
A integral
diverge.