Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
{ 1 / raiz(pi), 4 / raiz(raiz(pi)), 9 / raiz(raiz(raiz(pi))), 16 / raiz(raiz(raiz(raiz(pi)))), ... }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência:

Nesse problema, vamos usar conceitos de sequências e séries matemáticas, além de propriedades de potências e radiciação. Precisaremos identificar um padrão nos termos da sequência para formular uma expressão geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os numeradores dos termos da sequência:
Observamos que esses números são quadrados perfeitos:
Portanto, o numerador do n-ésimo termo pode ser representado por .

Passo 3

Agora, vamos observar os denominadores:
Podemos reescrever essas raízes em termos de potências:
Percebemos que o expoente no denominador segue a sequência

Passo 4

Para relacionar o expoente com a posição do termo na sequência (n), observamos que para o n-ésimo termo, o expoente é . Veja:
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
  • Para n = 3:
  • Para n = 4:
Portanto, o denominador do n-ésimo termo é .

Passo 5

Com as expressões do numerador e do denominador identificadas, podemos montar a fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência:

Resposta

A fórmula do termo geral da sequência é:

Exercícios relacionados