Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência:
Nesse problema, vamos usar conceitos de sequências e séries matemáticas, além de propriedades de potências e radiciação. Precisaremos identificar um padrão nos termos da sequência para formular uma expressão geral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os numeradores dos termos da sequência:
Observamos que esses números são quadrados perfeitos:
Portanto, o numerador do n-ésimo termo pode ser representado por
.
Passo 3
Agora, vamos observar os denominadores:
Podemos reescrever essas raízes em termos de potências:
Percebemos que o expoente no denominador segue a sequência
Passo 4
Para relacionar o expoente com a posição do termo na sequência (n), observamos que para o n-ésimo termo, o expoente é
. Veja:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto, o denominador do n-ésimo termo é
.
Passo 5
Com as expressões do numerador e do denominador identificadas, podemos montar a fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência:
Resposta
A fórmula do termo geral da sequência é: