Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(j)
(j)
Passo 1
Vamos analisar a integral
. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias e aos testes de comparação para verificar se a integral converge ou diverge. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação Direta, comparando com uma função cuja convergência já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a função
se comporta conforme
aumenta. Sabemos que, à medida que
cresce,
tende rapidamente a zero porque o expoente
se torna muito negativo.
Passo 3
Vamos escolher uma função simples para comparar, por exemplo,
. Sabemos que a integral
converge, pois é uma integral p onde
.
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas funções. Para todo
, temos:
Isso ocorre porque
é sempre positivo e decresce mais rápido que
quando
aumenta.
Passo 5
Como a integral da função comparadora
converge e
é menor ou igual a
para todo
, pelo Teste da Comparação Direta, podemos concluir que a integral
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.