Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(j) integral1^infty e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos analisar a integral integral1^infty e^-x^2 , dx. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias e aos testes de comparação para verificar se a integral converge ou diverge. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação Direta, comparando com uma função cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a função e^-x^2 se comporta conforme x aumenta. Sabemos que, à medida que x cresce, e^-x^2 tende rapidamente a zero porque o expoente -x^2 se torna muito negativo.

Passo 3

Vamos escolher uma função simples para comparar, por exemplo, 1x^2. Sabemos que a integral integral1^infty 1x^2 , dx converge, pois é uma integral p onde p = 2 > 1.

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas funções. Para todo x >= 1, temos:
0 <= e^-x^2 <= 1x^2
Isso ocorre porque e^-x^2 é sempre positivo e decresce mais rápido que 1x^2 quando x aumenta.

Passo 5

Como a integral da função comparadora 1x^2 converge e e^-x^2 é menor ou igual a 1x^2 para todo x >= 1, pelo Teste da Comparação Direta, podemos concluir que a integral integral1^infty e^-x^2 , dx também converge.

Resposta

A integral integral1^infty e^-x^2 , dx é convergente.

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