Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem uma região limitada por uma reta (
) e uma parábola (
). O objetivo é encontrar o comprimento do maior segmento vertical que cabe dentro dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de curvas e maximização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a parábola se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 3
Agora, vamos considerar um segmento vertical em um ponto qualquer
dentro do intervalo entre os dois pontos de interseção encontrados. A altura desse segmento é a diferença entre as ordens de
da reta e da parábola:
Essa é uma função quadrática que representa a altura do segmento vertical em função de
.
Passo 4
Para encontrar o comprimento máximo desse segmento, precisamos encontrar o valor máximo da função quadrática
. Sabemos que o vértice de uma parábola
ocorre em
. Aplicando isso:
Substituindo
na função da altura:
Resposta
O comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito na região é de 8,25 unidades.
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e escoa com velocidade
, onde
e
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.
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. que está dentro do cilindro
.
Encontre a solução geral de
A equação característica é
, com raízes
e
. A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
b) e
e
(Resp.:
b)