Considere a região limitada pela reta de equação e pela parábola definida por , indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem uma região limitada por uma reta ( ) e uma parábola ( ). O objetivo é encontrar o comprimento do maior segmento vertical que cabe dentro dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de curvas e maximização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a parábola se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 3

Agora, vamos considerar um segmento vertical em um ponto qualquer dentro do intervalo entre os dois pontos de interseção encontrados. A altura desse segmento é a diferença entre as ordens de da reta e da parábola:
Essa é uma função quadrática que representa a altura do segmento vertical em função de .

Passo 4

Para encontrar o comprimento máximo desse segmento, precisamos encontrar o valor máximo da função quadrática . Sabemos que o vértice de uma parábola ocorre em . Aplicando isso:
Substituindo na função da altura:

Resposta

O comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito na região é de 8,25 unidades.

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