Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem uma região limitada por uma reta (
) e uma parábola (
). O objetivo é encontrar o comprimento do maior segmento vertical que cabe dentro dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de curvas e maximização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a reta e a parábola se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 3
Agora, vamos considerar um segmento vertical em um ponto qualquer
dentro do intervalo entre os dois pontos de interseção encontrados. A altura desse segmento é a diferença entre as ordens de
da reta e da parábola:
Essa é uma função quadrática que representa a altura do segmento vertical em função de
.
Passo 4
Para encontrar o comprimento máximo desse segmento, precisamos encontrar o valor máximo da função quadrática
. Sabemos que o vértice de uma parábola
ocorre em
. Aplicando isso:
Substituindo
na função da altura:
Resposta
O comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito na região é de 8,25 unidades.