Seja y = phi(x) uma solução de y' + p(x) y = 0. Mostre que y = c phi(x) também é solução desta equação, para qualquer valor da constante c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem: . Sabemos que é uma solução dessa equação. O que precisamos mostrar é que qualquer múltiplo dessa solução, ou seja, onde é uma constante, também será solução da mesma equação. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superposição de soluções em equações diferenciais lineares homogêneas.

Passo 2

Vamos começar substituindo na equação diferencial original. Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra básica de derivação que diz que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.

Passo 3

Agora, substituímos e na equação :
Podemos fatorar o da expressão:
Observe que é uma constante e não depende de .

Passo 4

Sabemos que é uma solução da equação original, ou seja:
Substituindo essa igualdade na expressão que obtivemos:
Isso mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, também é solução da equação diferencial para qualquer constante .

Exercícios relacionados