Seja
uma solução de
. Mostre que
também é solução desta equação, para qualquer valor da constante
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. Sabemos que
é uma solução dessa equação. O que precisamos mostrar é que qualquer múltiplo dessa solução, ou seja,
onde
é uma constante, também será solução da mesma equação. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superposição de soluções em equações diferenciais lineares homogêneas.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na equação diferencial original. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra básica de derivação que diz que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação
:
Podemos fatorar o
da expressão:
Observe que
é uma constante e não depende de
.
Passo 4
Sabemos que
é uma solução da equação original, ou seja:
Substituindo essa igualdade na expressão que obtivemos:
Isso mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor de
.
Resposta
Portanto,
também é solução da equação diferencial
para qualquer constante
.