Considere a região plana
e calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo (da reta) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região em torno da reta . A região é definida por e . Vamos usar o método dos discos para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada entre e no eixo , e entre e no eixo . Para calcular o volume da rotação em torno de , precisamos considerar a distância de cada ponto na região até o eixo de rotação.

Passo 3

Como estamos girando em torno de uma reta vertical ( ), vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação até o elemento de área, e é a altura do cilindro.

Passo 4

No nosso caso:
  • A distância de um ponto até é .
  • A altura do cilindro é a diferença entre as funções superiores e inferiores em , ou seja, .
Então, a fórmula fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de a :

Passo 7

Calculando para :
Calculando para :
Então, a diferença é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é:

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(b)
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©
Encontre o volume do sólido delimitado por , no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
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(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}