Considere a região plana
e calcule o volume
do sólido
obtido pela rotação de
em torno do eixo (da reta)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume
de um sólido que resulta da rotação da região
em torno da reta
. A região
é definida por
e
. Vamos usar o método dos discos para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está limitada entre
e
no eixo
, e entre
e
no eixo
. Para calcular o volume da rotação em torno de
, precisamos considerar a distância de cada ponto
na região até o eixo de rotação.
Passo 3
Como estamos girando em torno de uma reta vertical (
), vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação até o elemento de área, e
é a altura do cilindro.
Passo 4
No nosso caso:
- A distância
de um ponto até é . - A altura
do cilindro é a diferença entre as funções superiores e inferiores em , ou seja, .
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de
a
:
Passo 7
Calculando para
:
Calculando para
:
Então, a diferença é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume
do sólido é:
Exercícios relacionados
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(b)
(b)
Resolva as inequações:
©
©
Encontre o volume do sólido delimitado por
, no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}