Considere a região plana
R = {(x, y) em R^2 | 1 <= x <= 2 e 1/x <= y <= x}
e calcule o volume V do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo (da reta) x = -3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região em torno da reta . A região é definida por e . Vamos usar o método dos discos para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada entre e no eixo , e entre e no eixo . Para calcular o volume da rotação em torno de , precisamos considerar a distância de cada ponto na região até o eixo de rotação.

Passo 3

Como estamos girando em torno de uma reta vertical ( ), vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação até o elemento de área, e é a altura do cilindro.

Passo 4

No nosso caso:
  • A distância de um ponto até é .
  • A altura do cilindro é a diferença entre as funções superiores e inferiores em , ou seja, .
Então, a fórmula fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de a :

Passo 7

Calculando para :
Calculando para :
Então, a diferença é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é:

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