Encontre o volume do sólido delimitado por
, no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que encontrar o volume do sólido limitado pela equação
no primeiro octante. O “primeiro octante” significa que x, y e z são todos positivos ou zero. Para resolver isso, vamos precisar usar integração tripla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes de sólidos em três dimensões.
Passo 2
Vamos começar desenhando o sólido. A equação
é um plano que intercepta os eixos x, y e z. Para encontrar esses pontos de interceptação:
- Quando
e , temos . - Quando
e , temos . - Quando
e , temos .
Assim, o sólido é um tetraedro com vértices em (6,0,0), (0,3,0), (0,0,2) e (0,0,0).
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos integrar em ordem dz dy dx.
Primeiro, resolvemos a equação do plano para z:
Então, os limites são:
-
varia de 0 a 6. - Para um dado
, varia de 0 a . - Para dados
e , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Resposta
O volume do sólido é dado pela integral tripla: