Encontre o volume do sólido delimitado por , no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que encontrar o volume do sólido limitado pela equação no primeiro octante. O “primeiro octante” significa que x, y e z são todos positivos ou zero. Para resolver isso, vamos precisar usar integração tripla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes de sólidos em três dimensões.

Passo 2

Vamos começar desenhando o sólido. A equação é um plano que intercepta os eixos x, y e z. Para encontrar esses pontos de interceptação:
  • Quando e , temos .
  • Quando e , temos .
  • Quando e , temos .
    Assim, o sólido é um tetraedro com vértices em (6,0,0), (0,3,0), (0,0,2) e (0,0,0).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos integrar em ordem dz dy dx.
Primeiro, resolvemos a equação do plano para z:
Então, os limites são:
  • varia de 0 a 6.
  • Para um dado , varia de 0 a .
  • Para dados e , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla com esses limites:

Resposta

O volume do sólido é dado pela integral tripla:

Exercícios relacionados

Considere a região plana
e calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo (da reta) .
Resolva para e represente a solução na reta numérica
(b)
Resolva para e represente a solução na reta numérica
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
Mostre pelo Teorema do Confronto que .