Encontre o volume do sólido delimitado por
, no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que encontrar o volume do sólido limitado pela equação
no primeiro octante. O “primeiro octante” significa que x, y e z são todos positivos ou zero. Para resolver isso, vamos precisar usar integração tripla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes de sólidos em três dimensões.
Passo 2
Vamos começar desenhando o sólido. A equação
é um plano que intercepta os eixos x, y e z. Para encontrar esses pontos de interceptação:
- Quando
e , temos . - Quando
e , temos . - Quando
e , temos .
Assim, o sólido é um tetraedro com vértices em (6,0,0), (0,3,0), (0,0,2) e (0,0,0).
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos integrar em ordem dz dy dx.
Primeiro, resolvemos a equação do plano para z:
Então, os limites são:
-
varia de 0 a 6. - Para um dado
, varia de 0 a . - Para dados
e , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Resposta
O volume do sólido é dado pela integral tripla:
Exercícios relacionados
Considere a região plana
e calcule o volume
do sólido
obtido pela rotação de
em torno do eixo (da reta)
.
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(b)
(b)
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
Mostre pelo Teorema do Confronto que
.