Resolva para e represente a solução na reta numérica
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! O problema pede para a gente encontrar os valores de que satisfazem a seguinte desigualdade:
Aqui, estamos trabalhando com inequações que envolvem frações e valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com cada parte da inequação, especialmente tratando os pontos onde o denominador pode ser zero e como o valor absoluto influencia a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a expressão não está definida. Olhe só para os denominadores:
: O valor absoluto nunca é zero, a menos que , ou seja, .
: Esse denominador é zero quando .
Então, os valores e não estão no domínio da função. Vamos lembrar disso para não considerá-los nas soluções.
Passo 3
Agora, vamos entender o valor absoluto . Sabemos que:
Então, precisamos considerar duas situações:
, ou seja, ou .
, ou seja, .
Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos separadamente.
Passo 4
Caso 1: ou
Nesse caso, . A inequação fica:
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Assim,
Então, a inequação se torna:
Vamos somar em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que quando ):
Rearranjando:
Vamos resolver a equação :
Então, as raízes são e .
Como estamos no intervalo , a solução desse caso é .
Passo 5
Caso 2:
Nesse intervalo, . A inequação fica:
Vamos notar que . Então,
A inequação se torna:
Observe que , então substituindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, dentro do intervalo . Então, a solução desse caso é .
Passo 6
Juntando as soluções dos dois casos:
Isso significa que os valores de que satisfazem a inequação original estão no intervalo e .
Resposta
A solução da inequação é , representada na reta numérica da seguinte forma:
onde os círculos preenchidos (•) indicam que os extremos e estão incluídos, e os círculos vazios (o) indicam que e não fazem parte da solução.