Considere a região plana delimitada pela parábola de equação e a reta de equação .
Esboce a região no plano .

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para esboçar a região no plano , delimitada pela parábola e pela reta . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso, especificamente sobre como desenhar curvas e encontrar onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se interceptam. Isso vai nos ajudar a saber os limites da região .

Passo 3

Para achar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
onde , e :
Então, as soluções são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a esses usando a equação da reta:
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Com esses pontos, vamos esboçar as duas curvas:
  • A parábola é uma curva em forma de “U” voltada para cima, que corta o eixo no ponto .
  • A reta tem inclinação negativa e intercepta o eixo no ponto .

Passo 7

Plotando os pontos de interseção e alguns pontos adicionais para cada curva, podemos desenhar as duas no mesmo gráfico. A região será a área fechada entre a parábola e a reta, limitado entre e .

Resposta

A região é a área delimitada pela parábola e pela reta , situada entre os pontos de interseção e . No esboço, a parábola está abaixo da reta entre esses pontos, formando uma espécie de “fenda” onde a região está fechada.

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em .
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Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens e .