Qual é a variação aproximada da área de um retângulo de medidas dos lados 4 cm e 2 cm quando sua dimensão aumenta para 4.01 cm e 2.001 cm , respectivamente.

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre como a área de um retângulo muda quando suas medidas aumentam um pouquinho. Aqui, trabalharemos com conceitos de cálculo de variações e diferenciais para encontrar a variação aproximada da área. Para isso, vamos precisar entender como pequenas mudanças nas dimensões afetam a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as medidas do retângulo original e as novas medidas após o aumento. O retângulo inicial tem lados de 4 cm e 2 cm. As novas medidas são 4,01 cm e 2,001 cm. Vamos chamar o comprimento original de cm e a largura original de cm. As variações nas medidas serão cm e cm.

Passo 3

A área de um retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura, ou seja, . Para encontrar como a área varia com pequenas mudanças em e , usamos a variação aproximada da área, dada por:
Isso vem do conceito de diferenciais, onde consideramos como cada dimensão contribui para a mudança total na área.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:

Passo 5

Somando as duas contribuições:

Resposta

A variação aproximada da área do retângulo é de 0,024 cm².

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