Qual é a variação aproximada da área de um retângulo de medidas dos lados 4 cm e 2 cm quando sua dimensão aumenta para 4.01 cm e 2.001 cm , respectivamente.
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre como a área de um retângulo muda quando suas medidas aumentam um pouquinho. Aqui, trabalharemos com conceitos de cálculo de variações e diferenciais para encontrar a variação aproximada da área. Para isso, vamos precisar entender como pequenas mudanças nas dimensões afetam a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as medidas do retângulo original e as novas medidas após o aumento. O retângulo inicial tem lados de 4 cm e 2 cm. As novas medidas são 4,01 cm e 2,001 cm. Vamos chamar o comprimento original de
cm e a largura original de
cm. As variações nas medidas serão
cm e
cm.
Passo 3
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura, ou seja,
. Para encontrar como a área varia com pequenas mudanças em
e
, usamos a variação aproximada da área, dada por:
Isso vem do conceito de diferenciais, onde consideramos como cada dimensão contribui para a mudança total na área.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Passo 5
Somando as duas contribuições:
Resposta
A variação aproximada da área do retângulo é de 0,024 cm².