Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a série
é divergente. Aqui, estamos trabalhando com séries matemáticas, especificamente analisando se a soma infinita dos termos dessa função seno converge para um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Divergência, que é uma ferramenta útil para determinar se uma série não converge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é
. Isso significa que para cada valor de
, calculamos o seno de
. Vamos ver alguns valores para entender o padrão:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante…
Então, os termos da série seguem a sequência:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Critério da Divergência, que diz o seguinte: Se o limite do termo geral da série, quando
tende ao infinito, não for igual a zero, então a série não converge (ou seja, ela diverge).
Então, precisamos calcular:
Analisando a sequência dos termos que vimos, fica claro que
não se aproxima de nenhum valor específico à medida que
cresce. Em vez disso, ela continua alternando entre
,
,
,
, e assim por diante. Ou seja, o limite não existe porque a sequência não se estabiliza em nenhum número.
Passo 4
Como o limite do termo geral
não existe (e definitivamente não é zero), pelo Critério da Divergência, podemos concluir que a série não converge. Isso significa que a soma dos termos dessa série cresce sem limites e, portanto, a série é divergente.
Resposta
A série
é divergente.