Mostre que as seguintes séries são divergentes: sumn=0^infty sin (n pi2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a série sumn=0^infty sin (n pi2) é divergente. Aqui, estamos trabalhando com séries matemáticas, especificamente analisando se a soma infinita dos termos dessa função seno converge para um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Divergência, que é uma ferramenta útil para determinar se uma série não converge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é sin (n pi2). Isso significa que para cada valor de n, calculamos o seno de n pi / 2. Vamos ver alguns valores para entender o padrão:
  • Quando n=0: sin(0) = 0
  • Quando n=1: sin(pi/2) = 1
  • Quando n=2: sin(pi) = 0
  • Quando n=3: sin(3pi/2) = -1
  • Quando n=4: sin(2pi) = 0
  • E assim por diante…
Então, os termos da série seguem a sequência: 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, dots

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério da Divergência, que diz o seguinte: Se o limite do termo geral da série, quando n tende ao infinito, não for igual a zero, então a série não converge (ou seja, ela diverge).
Então, precisamos calcular:
limn to infty sin (n pi2)
Analisando a sequência dos termos que vimos, fica claro que sin (n pi2) não se aproxima de nenhum valor específico à medida que n cresce. Em vez disso, ela continua alternando entre 0, 1, 0, -1, e assim por diante. Ou seja, o limite não existe porque a sequência não se estabiliza em nenhum número.

Passo 4

Como o limite do termo geral sin (n pi2) não existe (e definitivamente não é zero), pelo Critério da Divergência, podemos concluir que a série não converge. Isso significa que a soma dos termos dessa série cresce sem limites e, portanto, a série é divergente.

Resposta

A série sumn=0^infty sin (n pi2) é divergente.

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