Determine, se existir, os seguintes limites:
(m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de limites, mais especificamente envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada do tipo , usando, por exemplo, fatoração ou racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para verificar se realmente estamos diante de uma forma indeterminada:
Como é , precisamos manipular a expressão para simplificar.

Passo 3

Vamos começar simplificando o denominador . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador . Para simplificar, podemos tentar expressar isso em termos de , já que no denominador temos essa fatoração. Vamos notar que quando está perto de 1, está perto de 1 também.
Podemos escrever:
Mas ainda não está claro como simplificar. Vamos então multiplicar e dividir por para racionalizar a expressão.

Passo 5

Multiplicando e dividindo o numerador por :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Perceba que pode ser reescrito como . Então, o denominador fica:
Agora, podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(x)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(t)
Demonstre, pela definição, os seguintes limites:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Considere uma região retangular (uma folha A4, por exemplo). Divida essa região pela metade. Em seguida, divida o que restou pela metade. Repita esse procedimento sucessiva e indefinidamente. No limite, ou seja, à medida que o número de divisões cresce, que figura geométrica resultará?