Determine, se existir, os seguintes limites:
(m) lim x 1 x+raizx-2x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 x+raizx-2x^3-1
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de limites, mais especificamente envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada do tipo , usando, por exemplo, fatoração ou racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1 + raiz1 - 21^3 - 1 = 1 + 1 - 21 - 1 = 00 na expressão para verificar se realmente estamos diante de uma forma indeterminada:
Como é , precisamos manipular a expressão para simplificar.

Passo 3

Vamos começar simplificando o denominador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador x + raizx - 2 = (x - 1) + (raizx - 1) . Para simplificar, podemos tentar expressar isso em termos de , já que no denominador temos essa fatoração. Vamos notar que quando está perto de 1, está perto de 1 também.
Podemos escrever:
Mas ainda não está claro como simplificar. Vamos então multiplicar e dividir por para racionalizar a expressão.

Passo 5

Multiplicando e dividindo o numerador por x + raizx - 2 = (raizx)^2 + raizx - 2 = (raizx - 1)(raizx + 2) :
(raizx - 1)(raizx + 2)(x - 1)(x^2 + x + 1)
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Perceba que (x - 1)(x^2 + x + 1) = (raizx - 1)(raizx + 1)(x^2 + x + 1) pode ser reescrito como raizx + 2(raizx + 1)(x^2 + x + 1) . Então, o denominador fica:
Agora, podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos raiz1 + 2(raiz1 + 1)(1^2 + 1 + 1) = 1 + 2(1 + 1)(1 + 1 + 1) = 32 times 3 = 36 = 12 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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