Determine, se existir, os seguintes limites:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de limites, mais especificamente envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada do tipo
, usando, por exemplo, fatoração ou racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para verificar se realmente estamos diante de uma forma indeterminada:
Como é
, precisamos manipular a expressão para simplificar.
Passo 3
Vamos começar simplificando o denominador
. Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador
. Para simplificar, podemos tentar expressar isso em termos de
, já que no denominador temos essa fatoração. Vamos notar que quando
está perto de 1,
está perto de 1 também.
Podemos escrever:
Mas ainda não está claro como simplificar. Vamos então multiplicar e dividir por
para racionalizar a expressão.
Passo 5
Multiplicando e dividindo o numerador por
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Perceba que
pode ser reescrito como
. Então, o denominador fica:
Agora, podemos cancelar o termo
que está no numerador e no denominador:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.