Considere a relação de ordem da divisibilidade em . Quais dos seguintes subconjuntos de são totalmente ordenados? .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a relação de ordem da divisibilidade nos números naturais, ou seja, vamos ver como os números se relacionam quando um divide o outro. A questão quer saber se o subconjunto é totalmente ordenado nessa relação. Para resolver isso, precisamos entender o que significa estar totalmente ordenado e como a divisibilidade funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de ordem totalmente ordenada. Em matemática, uma relação de ordem é totalmente ordenada se, para quaisquer dois elementos no conjunto, um deles está relacionado ao outro. No caso da divisibilidade, isso significa que para qualquer dois números no conjunto, um divide o outro.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o nosso subconjunto . Esse conjunto tem apenas um elemento, que é o número 4. Como só tem um número, não tem nenhum outro elemento com o qual 4 possa ou não se relacionar. Isso significa que não há pares de números que precisem ser comparados em termos de divisibilidade dentro desse conjunto.

Passo 4

Como não há outros elementos para comparar com 4, podemos dizer que a relação de divisibilidade é trivially total nesse conjunto. Isso porque, por definição, um conjunto com apenas um elemento sempre satisfaz a condição de ser totalmente ordenado, já que não há elementos para violar essa ordem.

Resposta

O subconjunto é totalmente ordenado na relação de ordem da divisibilidade em .

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