Encontre um vetor
(a) com mesma direção e sentido do vetor (3,4) e módulo igual a 6 ;
(b) com mesma direção e sentido contrário ao vetor (-1,2) e módulo igual a 5.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos dois vetores e queremos encontrar novos vetores com características específicas. No item (a), precisamos de um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor e que tenha módulo igual a 6. No item (b), queremos um vetor com a mesma direção, mas sentido contrário ao vetor , e que tenha módulo igual a 5. Para isso, vamos usar o conceito de escalonamento de vetores, que ajusta o tamanho do vetor mantendo sua direção.

Passo 2

Resolvendo o item (a):
  1. Calcular o módulo do vetor original |v| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 :
    Fator = 65
  2. Determinar o fator de escalonamento:
    Queremos que o novo vetor tenha módulo 6. Então, o fator de escalonamento é:
    vnovo = (3 times 65, 4 times 65) = (185, 245)
  3. Multiplicar o vetor original pelo fator de escalonamento:

Passo 3

Resolvendo o item (b):
  1. Calcular o módulo do vetor original |v| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 :
    vinverso = (-1) times (-1,2) = (1,-2)
  2. Inverter a direção do vetor original:
    Como queremos o sentido contrário, multiplicamos o vetor por Fator = 5raiz5 = raiz5 :
    vnovo = (1 times raiz5, -2 times raiz5) = (raiz5, -2raiz5)
  3. Determinar o fator de escalonamento:
    Queremos que o novo vetor tenha módulo 5. Então, o fator de escalonamento é:
  4. Multiplicar o vetor invertido pelo fator de escalonamento:

Resposta

(a) O vetor com a mesma direção e sentido de e módulo igual a 6 é .
(b) O vetor com a mesma direção e sentido contrário de e módulo igual a 5 é .

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