Discutir e resolver os sistemas: 2 x-y+z & =0 x-2 y-3 z & =0 x+4 y-z & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve três variáveis: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de sistemas lineares, como eliminação, que nos ajuda a simplificar e encontrar os valores desconhecidos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
2x - y + z = 0 x - 2y - 3z = 0 x + 4y - z = 0

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis de duas das equações. Vou escolher eliminar . Para isso, vamos manipular as equações para que os coeficientes de sejam iguais em duas delas.

Passo 4

Pegamos a primeira equação e multiplicamos por 1:
2x - y + z = 0 (Equação 1) çã
E a segunda equação multiplicamos por 2:
2(x - 2y - 3z) = 2 cdot 0 2x - 4y - 6z = 0 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1 para eliminar (2x - y + z) - (2x - 4y - 6z) = 0 - 0 0x + 3y + 7z = 0 (Equação 4) :
çã

Passo 6

Fazemos o mesmo com a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 1:
2x - y + z = 0 (Equação 1) çã
E a Equação 3 por 2:
2(x + 4y - z) = 2 cdot 0 2x + 8y - 2z = 0 (Equação 5) çã

Passo 7

Subtraímos a Equação 1 da Equação 5 para eliminar (2x + 8y - 2z) - (2x - y + z) = 0 - 0 0x + 9y - 3z = 0 (Equação 6) :
çã

Passo 8

Agora temos duas equações com duas variáveis:
3y + 7z = 0 (Equação 4) 9y - 3z = 0 (Equação 6) çãçã
Vamos resolver esse sistema para 3(3y + 7z) = 3 cdot 0 9y + 21z = 0 (Equação 7) e . Podemos, por exemplo, multiplicar a Equação 4 por 3 para facilitar a eliminação:
çã

Passo 9

Subtraímos a Equação 6 da Equação 7:
(9y + 21z) - (9y - 3z) = 0 - 0 0y + 24z = 0 24z = 0 z = 0

Passo 10

Com 3y + 7(0) = 0 3y = 0 y = 0 , substituímos em uma das equações para encontrar . Usando a Equação 4:

Passo 11

Agora que temos 2x - 0 + 0 = 0 2x = 0 x = 0 e , substituímos esses valores em uma das equações originais para encontrar . Usando a Equação 1:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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