Considere a relação de ordem da divisibilidade em . Quais dos seguintes subconjuntos de são totalmente ordenados? .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão está falando sobre relações de ordem na matemática, especificamente a divisibilidade nos números naturais . O que precisamos descobrir é se o conjunto é totalmente ordenado sob essa relação. Em outras palavras, queremos saber se, para qualquer par de números nesse conjunto, um deles sempre divide o outro sem deixar resto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa relações de ordem e totalmente ordenado. Uma relação de ordem em um conjunto é uma maneira de comparar os elementos desse conjunto seguindo certas regras. No caso da divisibilidade, dizemos que um número está relacionado a um número ( ) se divide , ou seja, se existe um número inteiro tal que .
Um conjunto é totalmente ordenado se, para qualquer dois elementos nesse conjunto, um é sempre “menor” ou “igual” ao outro segundo a relação de ordem definida. Aplicando isso à divisibilidade, queremos ver se, para qualquer par de números no conjunto, um deles divide o outro.

Passo 3

Vamos analisar os elementos do conjunto dois a dois:
  1. 3 e 5: Será que 3 divide 5? Não, porque não existe um inteiro tal que . E 5 divide 3 também? Não, pelo mesmo motivo. Portanto, 3 e 5 não estão relacionados pela divisibilidade.
  2. 3 e 15: Será que 3 divide 15? Sim, porque . Portanto, 3 está relacionado a 15.
  3. 5 e 15: Será que 5 divide 15? Sim, porque . Portanto, 5 está relacionado a 15.

Passo 4

Observamos que nem todos os pares de elementos no conjunto estão relacionados pela divisibilidade. Especificamente, 3 e 5 não se relacionam. Para um conjunto ser totalmente ordenado sob a relação de divisibilidade, todos os pares devem estar relacionados.

Resposta

O conjunto não é totalmente ordenado sob a relação de divisibilidade em .

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