Considere a relação de ordem da divisibilidade em
. Quais dos seguintes subconjuntos de
são totalmente ordenados?
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão está falando sobre relações de ordem na matemática, especificamente a divisibilidade nos números naturais
. O que precisamos descobrir é se o conjunto
é totalmente ordenado sob essa relação. Em outras palavras, queremos saber se, para qualquer par de números nesse conjunto, um deles sempre divide o outro sem deixar resto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa relações de ordem e totalmente ordenado. Uma relação de ordem em um conjunto é uma maneira de comparar os elementos desse conjunto seguindo certas regras. No caso da divisibilidade, dizemos que um número
está relacionado a um número
(
) se
divide
, ou seja, se existe um número inteiro
tal que
.
Um conjunto é totalmente ordenado se, para qualquer dois elementos nesse conjunto, um é sempre “menor” ou “igual” ao outro segundo a relação de ordem definida. Aplicando isso à divisibilidade, queremos ver se, para qualquer par de números no conjunto, um deles divide o outro.
Passo 3
Vamos analisar os elementos do conjunto
dois a dois:
-
3 e 5: Será que 3 divide 5? Não, porque não existe um inteiro
tal que . E 5 divide 3 também? Não, pelo mesmo motivo. Portanto, 3 e 5 não estão relacionados pela divisibilidade. -
3 e 15: Será que 3 divide 15? Sim, porque
. Portanto, 3 está relacionado a 15. -
5 e 15: Será que 5 divide 15? Sim, porque
. Portanto, 5 está relacionado a 15.
Passo 4
Observamos que nem todos os pares de elementos no conjunto estão relacionados pela divisibilidade. Especificamente, 3 e 5 não se relacionam. Para um conjunto ser totalmente ordenado sob a relação de divisibilidade, todos os pares devem estar relacionados.
Resposta
O conjunto
não é totalmente ordenado sob a relação de divisibilidade em
.