Determine x, y, z in R, tais que x A+y B+z C=I3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar valores reais que, quando combinados com as matrizes , resultem na matriz identidade . Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e operações com matrizes.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação dada:
xA + yB + zC = I3
Essa equação significa que a combinação linear das matrizes deve igualar a matriz identidade.

Passo 3

Como e são matrizes 3x3, podemos comparar cada entrada correspondente das matrizes para obter um sistema de equações. Isso nos dá um total de 9 equações, uma para cada posição da matriz.

Passo 4

Vamos supor que as entradas das matrizes sejam:
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 , B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 , C = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 c31 & c32 & c33 , I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Para cada posição x aij + y bij + z cij = (I3)ij , temos:

Passo 5

Isso nos resulta em um sistema de 9 equações lineares:
x a11 + y b11 + z c11 = 1 x a12 + y b12 + z c12 = 0 x a13 + y b13 + z c13 = 0 x a21 + y b21 + z c21 = 0 x a22 + y b22 + z c22 = 1 x a23 + y b23 + z c23 = 0 x a31 + y b31 + z c31 = 0 x a32 + y b32 + z c32 = 0 x a33 + y b33 + z c33 = 1
Essas equações podem ser representadas de forma matricial como x y z , onde 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é a matriz formada pelas colunas de .

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos utilizar métodos como a eliminação de Gauss ou calcular a inversa da matriz x y z (se ela for invertível) e então multiplicar ambos os lados da equação pela inversa para encontrar .

Resposta

Os valores de são encontrados resolvendo o sistema de equações formado pelas entradas das matrizes igualadas à matriz identidade . Isso resulta em valores específicos para que satisfazem a equação .

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