Considere a relação de ordem da divisibilidade em
. Quais dos seguintes subconjuntos de
são totalmente ordenados?
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se o subconjunto
dos números naturais
é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Ou seja, queremos saber se, para qualquer par de números desse conjunto, um divide o outro sem deixar resto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de ordem total. Uma relação
em um conjunto
é dita ser uma ordem total se, para quaisquer dois elementos
e
em
, ou
ou
. No nosso caso, a relação é a divisibilidade, onde dizemos que
divide
(escrevemos
) se existe um número natural
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar todos os pares possíveis do subconjunto
para ver se um número divide o outro:
- 2 e 8:
-
porque .
-
- 2 e 32:
-
porque .
-
- 2 e 4:
-
porque .
-
- 8 e 32:
-
porque .
-
- 8 e 4:
- Aqui temos um problema!
não divide ( ) e não divide ( ) além do já visto.
- Aqui temos um problema!
- 32 e 4:
-
porque .
-
Passo 4
Observamos que, na maioria dos pares, um número divide o outro. Contudo, especificamente entre 8 e 4, nenhum dos dois divide o outro:
e
. Isso significa que não conseguimos estabelecer uma ordem de divisibilidade entre esses dois números dentro do subconjunto.
Resposta
O subconjunto
não é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade em
, pois existem elementos que não se relacionam por divisibilidade entre si.