Considere a relação de ordem da divisibilidade em . Quais dos seguintes subconjuntos de são totalmente ordenados? .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se o subconjunto dos números naturais é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Ou seja, queremos saber se, para qualquer par de números desse conjunto, um divide o outro sem deixar resto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de ordem total. Uma relação em um conjunto é dita ser uma ordem total se, para quaisquer dois elementos e em , ou ou . No nosso caso, a relação é a divisibilidade, onde dizemos que divide (escrevemos ) se existe um número natural tal que .

Passo 3

Agora, vamos verificar todos os pares possíveis do subconjunto para ver se um número divide o outro:
  1. 2 e 8:
    • porque .
  2. 2 e 32:
    • porque .
  3. 2 e 4:
    • porque .
  4. 8 e 32:
    • porque .
  5. 8 e 4:
    • Aqui temos um problema! não divide ( ) e não divide ( ) além do já visto.
  6. 32 e 4:
    • porque .

Passo 4

Observamos que, na maioria dos pares, um número divide o outro. Contudo, especificamente entre 8 e 4, nenhum dos dois divide o outro: e . Isso significa que não conseguimos estabelecer uma ordem de divisibilidade entre esses dois números dentro do subconjunto.

Resposta

O subconjunto não é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade em , pois existem elementos que não se relacionam por divisibilidade entre si.

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta:
(a) paralela à reta que passa pelo ponto ;
(b) perpendicular à reta que passa pelo ponto ;
© perpendicular à reta que passa pelo ponto .
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Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta onde: .
Os três exercícios seguintes e 12) referem-se a uma corda esticada, constituída de uma parte mais fina (1) ligada a outra parte mais grossa (2), ligada a uma parede,
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