Considere a relação de ordem da divisibilidade em N. Quais dos seguintes subconjuntos de N são totalmente ordenados? 2,8,32,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se o subconjunto 2, 8, 32, 4 dos números naturais N é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Ou seja, queremos saber se, para qualquer par de números desse conjunto, um divide o outro sem deixar resto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de ordem total. Uma relação <= em um conjunto A é dita ser uma ordem total se, para quaisquer dois elementos a e b em A, ou a <= b ou b <= a. No nosso caso, a relação é a divisibilidade, onde dizemos que a divide b (escrevemos a mid b) se existe um número natural k tal que b = a times k.

Passo 3

Agora, vamos verificar todos os pares possíveis do subconjunto 2, 8, 32, 4 para ver se um número divide o outro:
  1. 2 e 8:
    • 2 mid 8 porque 8 = 2 times 4.
  2. 2 e 32:
    • 2 mid 32 porque 32 = 2 times 16.
  3. 2 e 4:
    • 2 mid 4 porque 4 = 2 times 2.
  4. 8 e 32:
    • 8 mid 32 porque 32 = 8 times 4.
  5. 8 e 4:
    • Aqui temos um problema! 8 não divide 4 ( 8 nmid 4) e 4 não divide 8 ( 4 nmid 8) além do já visto.
  6. 32 e 4:
    • 4 mid 32 porque 32 = 4 times 8.

Passo 4

Observamos que, na maioria dos pares, um número divide o outro. Contudo, especificamente entre 8 e 4, nenhum dos dois divide o outro: 8 nmid 4 e 4 nmid 8. Isso significa que não conseguimos estabelecer uma ordem de divisibilidade entre esses dois números dentro do subconjunto.

Resposta

O subconjunto 2, 8, 32, 4 não é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade em N, pois existem elementos que não se relacionam por divisibilidade entre si.

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