Considere a relação de ordem da divisibilidade em
. Quais dos seguintes subconjuntos de
são totalmente ordenados?
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se o subconjunto
dos números naturais
é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Ou seja, queremos saber se, para qualquer par de números desse conjunto, um divide o outro sem deixar resto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de ordem total. Uma relação
em um conjunto
é dita ser uma ordem total se, para quaisquer dois elementos
e
em
, ou
ou
. No nosso caso, a relação é a divisibilidade, onde dizemos que
divide
(escrevemos
) se existe um número natural
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar todos os pares possíveis do subconjunto
para ver se um número divide o outro:
- 2 e 8:
-
porque .
-
- 2 e 32:
-
porque .
-
- 2 e 4:
-
porque .
-
- 8 e 32:
-
porque .
-
- 8 e 4:
- Aqui temos um problema!
não divide ( ) e não divide ( ) além do já visto.
- Aqui temos um problema!
- 32 e 4:
-
porque .
-
Passo 4
Observamos que, na maioria dos pares, um número divide o outro. Contudo, especificamente entre 8 e 4, nenhum dos dois divide o outro:
e
. Isso significa que não conseguimos estabelecer uma ordem de divisibilidade entre esses dois números dentro do subconjunto.
Resposta
O subconjunto
não é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade em
, pois existem elementos que não se relacionam por divisibilidade entre si.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta:
(a) paralela à reta que passa pelo ponto
;
(b) perpendicular à reta que passa pelo ponto
;
© perpendicular à reta que passa pelo ponto
.
(a) paralela à reta
(b) perpendicular à reta
© perpendicular à reta
Os três exercícios seguintes
e 12) referem-se a uma corda esticada, constituída de uma parte mais fina (1) ligada a outra parte mais grossa (2), ligada a uma parede,
10) Sabendo-se que na corda (1) a velocidade de propagação da onda é e que o comprimento de onda
, responda:
b) Qual é o tempo que a mão da pessoa gasta para efetuar uma vibração completa?
10) Sabendo-se que na corda (1) a velocidade de propagação da onda é
b) Qual é o tempo que a mão da pessoa gasta para efetuar uma vibração completa?
Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
onde:
.
Os três exercícios seguintes
e 12) referem-se a uma corda esticada, constituída de uma parte mais fina (1) ligada a outra parte mais grossa (2), ligada a uma parede,
12) Considere que um pulso seja produzido pela mão, em um certo instante. no início da corda (1). Sabendose que o comprimento de cada corda é igual a 100 cm , quanto tempo este pulso gastará para alcançar a extremidade da corda (2) ligada à parede?
12) Considere que um pulso seja produzido pela mão, em um certo instante. no início da corda (1). Sabendose que o comprimento de cada corda é igual a 100 cm , quanto tempo este pulso gastará para alcançar a extremidade da corda (2) ligada à parede?