Determine a equação da reta:
(a) paralela à reta 2 x+5 y=1 que passa pelo ponto (1,2);
(b) perpendicular à reta y=3 x+1 que passa pelo ponto (-3,1);
© perpendicular à reta x=3 que passa pelo ponto (2,0).

Passo 1

Beleza, temos três subquestões sobre encontrar a equação de uma reta. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e perpendiculares. Precisamos entender como identificar o coeficiente angular (inclinação) das retas e usar a fórmula da equação da reta para encontrar a resposta para cada caso.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a equação da reta paralela à reta 2x + 5y = 1 que passa pelo ponto 5y = -2x + 1.
Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular da reta dada. Reescrevendo a equação na forma y = -25x + 15:
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = -25(x - 1)
Aqui, o coeficiente angular é . Como retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, a reta que buscamos também terá .
Agora, usamos a fórmula da equação da reta passando por um ponto :
Substituindo e :

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
y - 2 = -25x + 25
y = -25x + 25 + 2
y = -25x + 125

Passo 4

Resposta Parte (a):
A equação da reta é .

Passo 5

Parte (b): Encontrar a equação da reta perpendicular à reta mperp = -1m = -13 que passa pelo ponto y - 1 = -13(x - (-3)).
Primeiro, identificamos o coeficiente angular da reta dada, que é y - 1 = -13(x + 3). Retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocais, ou seja:
Agora, usamos a fórmula da equação da reta passando pelo ponto :

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
y - 1 = -13x - 1
y = -13x - 1 + 1
y = -13x

Passo 7

Resposta Parte (b):
A equação da reta é .

Passo 8

Parte ©: Encontrar a equação da reta perpendicular à reta y - 0 = 0(x - 2) que passa pelo ponto y = 0.
A reta é uma reta vertical, o que significa que sua inclinação é indefinida. Retas perpendiculares a retas verticais são retas horizontais, que têm coeficiente angular .
Usamos a fórmula da equação da reta com passando pelo ponto :

Passo 9

Resposta Parte ©:
A equação da reta é .

Resposta

(a)
(b)
©

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