Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo ponto P=(1,3) e é perpendicular à reta r onde: r:lx=2 t y=1-2 t, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas em formas paramétricas e cartesianas, além de entender como retas perpendiculares se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta x = 2t y = 1 - 2t , t in R . Ela está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, o parâmetro nos dá a direção da reta. O coeficiente de em e nos dá o vetor diretor da reta .

Passo 3

Vamos identificar o vetor diretor da reta x = 2t Rightarrow De. Observando as equações paramétricas:
Então, o vetor diretor de é .

Passo 4

Como queremos a reta dr cdot ds = 0 perpendicular à reta 2a + (-2)b = 0 Rightarrow 2a - 2b = 0 Rightarrow a = b , precisamos que o vetor diretor de seja perpendicular ao de . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser zero:
Se e , então:
Vamos escolher , então . Assim, o vetor diretor de pode ser .

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 1 + t y = 3 + t , t in R usando o ponto e o vetor diretor :

Passo 6

Para a equação cartesiana da reta x = 1 + t Rightarrow t = x - 1 y = 3 + t Rightarrow y = 3 + (x - 1) Rightarrow y = x + 2 , podemos eliminar o parâmetro y = x + 2 das equações paramétricas:
Então, a equação cartesiana é:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 + t y = 3 + t , t in R são:
y = x + 2
E a equação cartesiana da reta é:

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