Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta onde: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas em formas paramétricas e cartesianas, além de entender como retas perpendiculares se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta . Ela está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, o parâmetro nos dá a direção da reta. O coeficiente de em e nos dá o vetor diretor da reta .

Passo 3

Vamos identificar o vetor diretor da reta . Observando as equações paramétricas:
Então, o vetor diretor de é .

Passo 4

Como queremos a reta perpendicular à reta , precisamos que o vetor diretor de seja perpendicular ao de . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser zero:
Se e , então:
Vamos escolher , então . Assim, o vetor diretor de pode ser .

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta usando o ponto e o vetor diretor :

Passo 6

Para a equação cartesiana da reta , podemos eliminar o parâmetro das equações paramétricas:
Então, a equação cartesiana é:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E a equação cartesiana da reta é:

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(a) paralela à reta que passa pelo ponto ;
(b) perpendicular à reta que passa pelo ponto ;
© perpendicular à reta que passa pelo ponto .
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