Considere que a relação entre pressão e volume de um certo gás é dada por , onde e são constantes. Calcule o trabalho executado quando o gás se expande de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma relação entre pressão ( ) e volume ( ) de um gás: , onde , e são constantes. Nosso objetivo é calcular o trabalho ( ) realizado quando o gás se expande de um volume inicial para um volume final . Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a fórmula do trabalho de expansão de um gás.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a pressão ( ) na equação dada. Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, subtraímos de ambos os lados para obter em função de :

Passo 3

Sabemos que o trabalho realizado durante uma expansão ou compressão de um gás é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Substituindo a expressão que encontramos para :

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Agora, vamos resolver cada uma das integrais:
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:

Passo 5

Aplicando os limites de integração a cada parte:
  1. Primeira Parte:
  1. Segunda Parte:

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de para é:

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