Considere que a relação entre pressão e volume de um certo gás é dada por , onde e são constantes. Calcule o trabalho executado quando o gás se expande de a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma relação entre pressão () e volume () de um gás: , onde , e são constantes. Nosso objetivo é calcular o trabalho () realizado quando o gás se expande de um volume inicial para um volume final . Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a fórmula do trabalho de expansão de um gás.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a pressão () na equação dada. Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, subtraímos de ambos os lados para obter em função de :
Passo 3
Sabemos que o trabalho realizado durante uma expansão ou compressão de um gás é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Substituindo a expressão que encontramos para :
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Agora, vamos resolver cada uma das integrais:
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Passo 5
Aplicando os limites de integração a cada parte:
Primeira Parte:
Segunda Parte:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de para é: