Considere que a relação entre pressão e volume de um certo gás é dada por (p+a / V^2)(V-b)=K, onde a, b e K são constantes. Calcule o trabalho executado quando o gás se expande de V1 a V2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma relação entre pressão ( p) e volume ( V) de um gás: (p + aV^2)(V - b) = K, onde a, b e K são constantes. Nosso objetivo é calcular o trabalho ( W) realizado quando o gás se expande de um volume inicial V1 para um volume final V2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a fórmula do trabalho de expansão de um gás.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a pressão ( p) na equação dada. Dividindo ambos os lados por (V - b), temos:
p + aV^2 = KV - b
Agora, subtraímos aV^2 de ambos os lados para obter p em função de V:
p = KV - b - aV^2

Passo 3

Sabemos que o trabalho realizado durante uma expansão ou compressão de um gás é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralV1^V2 p , dV
Substituindo a expressão que encontramos para p:
W = integralV1^V2 ( KV - b - aV^2 ) dV

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
W = K integralV1^V2 1V - b , dV - a integralV1^V2 1V^2 , dV
Agora, vamos resolver cada uma das integrais:
  1. Primeira Integral:
integral 1V - b , dV = ln|V - b| + C
  1. Segunda Integral:
integral 1V^2 , dV = -1V + C

Passo 5

Aplicando os limites de integração a cada parte:
  1. Primeira Parte:
K [ ln(V - b) |V1^V2 ] = K ( ln(V2 - b) - ln(V1 - b) )
  1. Segunda Parte:
- a [ -1V |V1^V2 ] = a ( 1V2 - 1V1 )

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de V1 para V2 é:
W = K ln(V2 - bV1 - b) + a ( 1V2 - 1V1 )

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