Um mol de gás mono-atômico ideal sofre uma transformação adiabática desde V=1 m^3 até V=infty. A temperatura inicial é de 300 K. Qual a temperatura final?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um gás mono-atômico ideal que passa por uma transformação adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O volume do gás aumenta de até , e a temperatura inicial é de 300 K. Queremos descobrir qual será a temperatura final desse gás. Para isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente as relações para processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação adiabática. Nessa transformação, não há troca de calor ( T cdot V^gamma - 1 = constante ) com o ambiente. Para gases ideais, a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é dada pela fórmula:
Aqui, (gama) é a razão dos calores específicos, que para um gás mono-atômico ideal é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos dados. Inicialmente:
Ti = 300 , K
Vi = 1 , m^3
Vf = infty , m^3
Queremos encontrar , a temperatura final.

Passo 4

A relação adiabática nos permite escrever:
Ti cdot Vi^gamma - 1 = Tf cdot Vf^gamma - 1
Substituindo os valores:
300 cdot (1)^53 - 1 = Tf cdot (infty)^53 - 1
Simplificando o expoente:
53 - 1 = 23
Então:
300 cdot 1^23 = Tf cdot infty^23

Passo 5

Sabemos que 300 = Tf cdot infty e Tf = 300infty = 0 , K . Portanto:
Para resolver essa equação, isolamos :
Isso significa que, ao expandir infinitamente, a temperatura final do gás se aproxima de zero Kelvin.

Resposta

A temperatura final do gás é .

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