Um mol de gás mono-atômico ideal sofre uma transformação adiabática desde até . A temperatura inicial é de 300 K. Qual a temperatura final?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um gás mono-atômico ideal que passa por uma transformação adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O volume do gás aumenta de até , e a temperatura inicial é de 300 K. Queremos descobrir qual será a temperatura final desse gás. Para isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente as relações para processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação adiabática. Nessa transformação, não há troca de calor ( ) com o ambiente. Para gases ideais, a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é dada pela fórmula:
Aqui, (gama) é a razão dos calores específicos, que para um gás mono-atômico ideal é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos dados. Inicialmente:
Queremos encontrar , a temperatura final.

Passo 4

A relação adiabática nos permite escrever:
Substituindo os valores:
Simplificando o expoente:
Então:

Passo 5

Sabemos que e . Portanto:
Para resolver essa equação, isolamos :
Isso significa que, ao expandir infinitamente, a temperatura final do gás se aproxima de zero Kelvin.

Resposta

A temperatura final do gás é .

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