Considere a relação
definida em
da seguinte forma:
Prove que
é uma relação de ordem parcial. A relação
supracitada ordena totalmente
?
Passo 1
Então, a gente tem uma relação
definida no conjunto
. Basicamente, para dois pares ordenados
e
, dizemos que
se e somente se
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
- Provar que
é uma relação de ordem parcial. - Verificar se essa relação
ordena totalmente .
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de relação de ordem parcial e ordem total, além de verificar as propriedades que definem essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma relação
em um conjunto
é uma ordem parcial se ela for:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Antissimétrica: Se
e , então . - Transitiva: Se
e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação
.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos mostrar que todo par
está relacionado consigo mesmo, ou seja,
.
Como
e
são sempre verdadeiros (porque qualquer número é menor ou igual a si mesmo), então
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Agora, vamos supor que
e
. Precisamos mostrar que
, ou seja,
e
.
De
, temos
e
.
De , temos
e
.
De
Combinando essas desigualdades:
-
e implicam . -
e implicam .
Portanto,
, comprovando que
é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
De
, temos
e
.
De , temos
e
.
De
Somando as desigualdades:
-
então . -
então .
Logo,
, o que mostra que
é transitiva.
Passo 6
Como
satisfaz as três propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que
é uma relação de ordem parcial em
.
Agora, vamos verificar se essa ordem é total.
Passo 7
Uma ordem é total (ou linear) se, para quaisquer dois elementos
e
em
, ou
ou
é verdadeiro.
Vamos ver um exemplo para verificar isso:
Considere
e
.
- Para
, precisamos que e . A primeira parte é verdadeira, mas a segunda não. - Para
, precisamos que e . Novamente, a primeira parte é falsa.
Como nenhum dos dois casos é verdadeiro, a ordem não é total.
Resposta
A relação
é uma relação de ordem parcial em
e não ordena totalmente
.