Considere a relação definida em da seguinte forma:
Prove que é uma relação de ordem parcial. A relação supracitada ordena totalmente ?
Passo 1
Então, a gente tem uma relação definida no conjunto . Basicamente, para dois pares ordenados e , dizemos que se e somente se e . Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
Provar que é uma relação de ordem parcial.
Verificar se essa relação ordena totalmente .
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de relação de ordem parcial e ordem total, além de verificar as propriedades que definem essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma relação em um conjunto é uma ordem parcial se ela for:
Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
Antissimétrica: Se e , então .
Transitiva: Se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação .
Passo 3
Reflexividade: Precisamos mostrar que todo par está relacionado consigo mesmo, ou seja, .
Como e são sempre verdadeiros (porque qualquer número é menor ou igual a si mesmo), então . Portanto, é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Agora, vamos supor que e . Precisamos mostrar que , ou seja, e .
De , temos e .
De , temos e .
Combinando essas desigualdades:
e implicam .
e implicam .
Portanto, , comprovando que é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Precisamos mostrar que se e , então .
De , temos e .
De , temos e .
Somando as desigualdades:
então .
então .
Logo, , o que mostra que é transitiva.
Passo 6
Como satisfaz as três propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que é uma relação de ordem parcial em .
Agora, vamos verificar se essa ordem é total.
Passo 7
Uma ordem é total (ou linear) se, para quaisquer dois elementos e em , ou ou é verdadeiro.
Vamos ver um exemplo para verificar isso:
Considere e .
Para , precisamos que e. A primeira parte é verdadeira, mas a segunda não.
Para , precisamos que e. Novamente, a primeira parte é falsa.
Como nenhum dos dois casos é verdadeiro, a ordem não é total.
Resposta
A relação é uma relação de ordem parcial em e não ordena totalmente .