Considere a relação definida em da seguinte forma:
Prove que é uma relação de ordem parcial. A relação supracitada ordena totalmente ?

Passo 1

Então, a gente tem uma relação definida no conjunto . Basicamente, para dois pares ordenados e , dizemos que se e somente se e . Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. Provar que é uma relação de ordem parcial.
  2. Verificar se essa relação ordena totalmente .
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de relação de ordem parcial e ordem total, além de verificar as propriedades que definem essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma relação em um conjunto é uma ordem parcial se ela for:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Antissimétrica: Se e , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação .

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que todo par está relacionado consigo mesmo, ou seja, .
Como e são sempre verdadeiros (porque qualquer número é menor ou igual a si mesmo), então . Portanto, é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Agora, vamos supor que e . Precisamos mostrar que , ou seja, e .
De , temos e .
De , temos e .
Combinando essas desigualdades:
  • e implicam .
  • e implicam .
Portanto, , comprovando que é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Precisamos mostrar que se e , então .
De , temos e .
De , temos e .
Somando as desigualdades:
  • então .
  • então .
Logo, , o que mostra que é transitiva.

Passo 6

Como satisfaz as três propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que é uma relação de ordem parcial em .
Agora, vamos verificar se essa ordem é total.

Passo 7

Uma ordem é total (ou linear) se, para quaisquer dois elementos e em , ou ou é verdadeiro.
Vamos ver um exemplo para verificar isso:
Considere e .
  • Para , precisamos que e . A primeira parte é verdadeira, mas a segunda não.
  • Para , precisamos que e . Novamente, a primeira parte é falsa.
Como nenhum dos dois casos é verdadeiro, a ordem não é total.

Resposta

A relação é uma relação de ordem parcial em e não ordena totalmente .

Exercícios relacionados

(UF-PE) Das companhias que publicam anúncios nos jornais ou F , sabemos que:
  • 30 publicam no C;
  • 25 publicam no D;
  • 30 publicam no F;
  • 10 publicam em C e D;
  • 9 publicam em F e D;
  • 11 publicam em C e F;
  • 6 publicam em C, D e F.
    Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.
    a) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.
    b) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.
    c) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.
    d) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três jornais.
    e) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.
Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto universo . Prove as seguintes afirmações:
a)
b)
c) Se então
d) Se , então e
e)
(UFSC) Sejam A e B dois conjuntos, onde possui 134 elementos e possui 49 elementos. Se A possui 15 elementos a mais do que B, então o números de elementos de A é:
a) 99
b) 84
c) 65
d) 60
e) 50
(Machenzie-SP) Num grupo constituído de pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se dos homens jogam xadrez e das mulheres não jogam xadrez, então o valor de é:
a) 62
b) 70
c) 78
d) 84
e) 90