Considere a relação R definida em N x N da seguinte forma:
(a, b) R(c, d) <=> a \ c e b \ d
Prove que R é uma relação de ordem parcial. A relação R supracitada ordena totalmente N x N ?

Passo 1

Então, a gente tem uma relação definida no conjunto . Basicamente, para dois pares ordenados e , dizemos que se e somente se e . Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. Provar que é uma relação de ordem parcial.
  2. Verificar se essa relação ordena totalmente .
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de relação de ordem parcial e ordem total, além de verificar as propriedades que definem essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma relação em um conjunto é uma ordem parcial se ela for:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Antissimétrica: Se e , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação .

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que todo par está relacionado consigo mesmo, ou seja, .
Como e são sempre verdadeiros (porque qualquer número é menor ou igual a si mesmo), então . Portanto, é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Agora, vamos supor que e . Precisamos mostrar que , ou seja, e .
De , temos e .
De , temos e .
Combinando essas desigualdades:
  • e implicam .
  • e implicam .
Portanto, , comprovando que é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Precisamos mostrar que se e , então .
De , temos e .
De , temos e .
Somando as desigualdades:
  • então .
  • então .
Logo, , o que mostra que é transitiva.

Passo 6

Como satisfaz as três propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que é uma relação de ordem parcial em .
Agora, vamos verificar se essa ordem é total.

Passo 7

Uma ordem é total (ou linear) se, para quaisquer dois elementos e em , ou ou é verdadeiro.
Vamos ver um exemplo para verificar isso:
Considere e .
  • Para , precisamos que e . A primeira parte é verdadeira, mas a segunda não.
  • Para , precisamos que e . Novamente, a primeira parte é falsa.
Como nenhum dos dois casos é verdadeiro, a ordem não é total.

Resposta

A relação é uma relação de ordem parcial em e não ordena totalmente .

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