Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto universo Ω. Prove as seguintes afirmações:
a) A cap B subset A union B
b) A - B = A ∩ B
c) Se A ∩ C = ∅ então A ∩ (B ∪ C) = A ∩ B
d) Se A ∩ B = ∅, então A ⊆ B̅ e B ⊆ A barra
e) A ∩ B = A' ∪ B'

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e que são subconjuntos de um conjunto maior chamado . A gente precisa provar algumas propriedades envolvendo interseções e uniões desses conjuntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como interseção ( ), união ( ), complemento ( ) e diferença de conjuntos ( ).

Resolução

a)

Passo 2

Vamos provar que a interseção de e está contida na união de e . Em termos simples, qualquer elemento que esteja tanto em quanto em também está em pelo menos um dos conjuntos.

Passo 3

Pegamos um elemento qualquer que pertence a . Isso significa que está em e em .

Passo 4

Se está em ou em , então certamente está em .

Passo 5

Portanto, todo elemento de também está em , o que prova que .

b)

Passo 6

Aqui, precisamos mostrar que a diferença entre e o complemento de é igual à interseção de e .

Passo 7

A diferença consiste nos elementos que estão em mas não em . Mas é o complemento de , ou seja, contém todos os elementos que não estão em .

Passo 8

Então, são os elementos que estão em e em , já que não estão no complemento de .

Passo 9

Isso significa que .

c) Se então

Passo 10

Vamos provar que se e não têm nenhum elemento em comum, então a interseção de com a união de e é a mesma que a interseção de com .

Passo 11

Começamos com . Isso significa todos os elementos que estão em e em ou em .

Passo 12

Mas sabemos que , ou seja, não há elementos que estão em e em ao mesmo tempo.

Passo 13

Então, os únicos elementos que podem estar em são aqueles que estão em e em .

Passo 14

Logo, .

d) Se , então e

Passo 15

Vamos mostrar que se e não têm elementos em comum, então todo elemento de está no complemento de e vice-versa.

Passo 16

Se , isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em .

Passo 17

Tomando um elemento em , como não está em , deve estar no complemento de , ou seja, .

Passo 18

Isso mostra que .

Passo 19

De forma análoga, para qualquer elemento em , ele não está em , então .

Passo 20

Portanto, .

e)

Passo 21

Vamos provar que o complemento da interseção de e é igual à união dos complementos de e .

Passo 22

Segundo a Lei de De Morgan, o complemento da interseção é igual à união dos complementos. Ou seja, .

Passo 23

Para entender melhor, considere um elemento que não está em . Isso significa que não está ou em ou em .

Passo 24

Então, está em ou em , o que mostra que está em .

Resposta

Propriedades comprovadas conforme solicitado:
a)
b)
c) Se , então
d) Se , então e
e)

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