Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto universo . Prove as seguintes afirmações:
a)
b)
c) Se então
d) Se , então e
e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e que são subconjuntos de um conjunto maior chamado . A gente precisa provar algumas propriedades envolvendo interseções e uniões desses conjuntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como interseção ( ), união ( ), complemento ( ) e diferença de conjuntos ( ).

Resolução

a)

Passo 2

Vamos provar que a interseção de e está contida na união de e . Em termos simples, qualquer elemento que esteja tanto em quanto em também está em pelo menos um dos conjuntos.

Passo 3

Pegamos um elemento qualquer que pertence a . Isso significa que está em e em .

Passo 4

Se está em ou em , então certamente está em .

Passo 5

Portanto, todo elemento de também está em , o que prova que .

b)

Passo 6

Aqui, precisamos mostrar que a diferença entre e o complemento de é igual à interseção de e .

Passo 7

A diferença consiste nos elementos que estão em mas não em . Mas é o complemento de , ou seja, contém todos os elementos que não estão em .

Passo 8

Então, são os elementos que estão em e em , já que não estão no complemento de .

Passo 9

Isso significa que .

c) Se então

Passo 10

Vamos provar que se e não têm nenhum elemento em comum, então a interseção de com a união de e é a mesma que a interseção de com .

Passo 11

Começamos com . Isso significa todos os elementos que estão em e em ou em .

Passo 12

Mas sabemos que , ou seja, não há elementos que estão em e em ao mesmo tempo.

Passo 13

Então, os únicos elementos que podem estar em são aqueles que estão em e em .

Passo 14

Logo, .

d) Se , então e

Passo 15

Vamos mostrar que se e não têm elementos em comum, então todo elemento de está no complemento de e vice-versa.

Passo 16

Se , isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em .

Passo 17

Tomando um elemento em , como não está em , deve estar no complemento de , ou seja, .

Passo 18

Isso mostra que .

Passo 19

De forma análoga, para qualquer elemento em , ele não está em , então .

Passo 20

Portanto, .

e)

Passo 21

Vamos provar que o complemento da interseção de e é igual à união dos complementos de e .

Passo 22

Segundo a Lei de De Morgan, o complemento da interseção é igual à união dos complementos. Ou seja, .

Passo 23

Para entender melhor, considere um elemento que não está em . Isso significa que não está ou em ou em .

Passo 24

Então, está em ou em , o que mostra que está em .

Resposta

Propriedades comprovadas conforme solicitado:
a)
b)
c) Se , então
d) Se , então e
e)

Exercícios relacionados

(UFCE) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N , o número de elementos do conjunto é:
a) O triplo do número de elementos de M .
b) O triplo do número de elementos de N .
c) O quádruplo do número de elementos de M.
d) O dobro do número de elementos de M.
e) O dobro do número de elementos de N .
No conjunto Universo e , é definido o subconjunto e .
Pode-se afirmar que é igual a:
A) e
B)
C) e
D) e
(UF-PE) Das companhias que publicam anúncios nos jornais ou F , sabemos que:
  • 30 publicam no C;
  • 25 publicam no D;
  • 30 publicam no F;
  • 10 publicam em C e D;
  • 9 publicam em F e D;
  • 11 publicam em C e F;
  • 6 publicam em C, D e F.
    Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.
    a) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.
    b) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.
    c) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.
    d) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três jornais.
    e) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.
Considere a relação definida em da seguinte forma:
Prove que é uma relação de ordem parcial. A relação supracitada ordena totalmente ?