Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto universo . Prove as seguintes afirmações:
a)
b)
c) Se então
d) Se , então e
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e que são subconjuntos de um conjunto maior chamado . A gente precisa provar algumas propriedades envolvendo interseções e uniões desses conjuntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como interseção (), união (), complemento () e diferença de conjuntos ().
Resolução
a)
Passo 2
Vamos provar que a interseção de e está contida na união de e . Em termos simples, qualquer elemento que esteja tanto em quanto em também está em pelo menos um dos conjuntos.
Passo 3
Pegamos um elemento qualquer que pertence a . Isso significa que está em e em .
Passo 4
Se está em ou em , então certamente está em .
Passo 5
Portanto, todo elemento de também está em , o que prova que .
b)
Passo 6
Aqui, precisamos mostrar que a diferença entre e o complemento de é igual à interseção de e .
Passo 7
A diferença consiste nos elementos que estão em mas não em . Mas é o complemento de , ou seja, contém todos os elementos que não estão em .
Passo 8
Então, são os elementos que estão em e em , já que não estão no complemento de .
Passo 9
Isso significa que .
c) Se então
Passo 10
Vamos provar que se e não têm nenhum elemento em comum, então a interseção de com a união de e é a mesma que a interseção de com .
Passo 11
Começamos com . Isso significa todos os elementos que estão em e em ou em .
Passo 12
Mas sabemos que , ou seja, não há elementos que estão em e em ao mesmo tempo.
Passo 13
Então, os únicos elementos que podem estar em são aqueles que estão em e em .
Passo 14
Logo, .
d) Se , então e
Passo 15
Vamos mostrar que se e não têm elementos em comum, então todo elemento de está no complemento de e vice-versa.
Passo 16
Se , isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em .
Passo 17
Tomando um elemento em , como não está em , deve estar no complemento de , ou seja, .
Passo 18
Isso mostra que .
Passo 19
De forma análoga, para qualquer elemento em , ele não está em , então .
Passo 20
Portanto, .
e)
Passo 21
Vamos provar que o complemento da interseção de e é igual à união dos complementos de e .
Passo 22
Segundo a Lei de De Morgan, o complemento da interseção é igual à união dos complementos. Ou seja, .
Passo 23
Para entender melhor, considere um elemento que não está em . Isso significa que não está ou em ou em .