Considere um reservatório na forma de um cilindro circular reto. Determine o erro na medição de seu volume, causado pelo erro de 0.001 m na medição do raio r e, de 0,002m na medição da altura h, quando r = 3 m e h = 10 m. Compare os resultados obtidos por: Diferencial Total

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o erro na medição do volume de um reservatório que tem a forma de um cilindro. A gente sabe que o raio mede 3 metros, com um erro de 0,001 metros, e a altura mede 10 metros, com um erro de 0,002 metros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Diferencial Total, que é uma ferramenta matemática para estimar como pequenos erros nas medidas de e afetam o volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Agora, pra entender como os erros em e influenciam , vamos usar o Diferencial Total. Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Essas derivadas nos dizem como o volume muda quando mudamos ou individualmente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Diferencial Total para estimar o erro no volume ( ):
Substituindo os valores:
Calculando o valor numérico:

Resposta

O erro na medição do volume do cilindro é aproximadamente .

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