Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Aqui, trabalharemos com funções de valor absoluto e precisaremos entender como determinar o domínio e desenhar o gráfico dessas funções.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função valor absoluto
, não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Esboço do Gráfico: Para desenhar o gráfico de
, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 4
Vamos encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal:
Esse é o ponto de virada do gráfico.
Passo 5
Agora, desenharemos duas linhas:
- Para
, a função é uma linha reta com inclinação 2: . - Para
, a função é uma linha reta com inclinação -2: .
Passo 6
O gráfico resultante será uma “V” com o vértice no ponto
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Aqui, trabalharemos com funções racionais e valor absoluto, precisando determinar onde a função está definida e como seu gráfico se comporta.
Passo 8
Dominio: O domínio de
é determinado onde o denominador não é zero, ou seja,
.
Passo 9
Vamos simplificar a função considerando os diferentes casos para o valor absoluto:
-
Caso 1:
-
-
Caso 2:
-
Passo 10
Esboço do Gráfico:
- Para
, , que é uma linha horizontal no valor 4. - Para
, , que é uma linha horizontal no valor 2. - O ponto
não está no domínio, então haverá uma assíntota vertical em .
Passo 11
Vamos resolver a parte © do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Aqui, lidamos com funções definidas por partes, precisando determinar o domínio e como cada parte contribui para o gráfico total.
Passo 12
Dominio: A função está definida para todos os valores de
porque não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 13
Esboço do Gráfico:
- Para
: A função é , que é uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em 2. - Para
: A função é , que é uma linha reta com inclinação -1 e interceptação em 1.
Passo 14
Encontrar o ponto de transição em
:
- Em
, .
Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.
Passo 15
Finalmente, vamos resolver a parte (d) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Aqui, também trabalhamos com funções definidas por partes, precisando determinar o domínio e como cada parte contribui para o gráfico total.
Passo 16
Dominio: A função está definida para todos os valores de
porque ambos
e
estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 17
Esboço do Gráfico:
- Para
: A função é , uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em 2. - Para
: A função é , uma parábola com vértice na origem.
Passo 18
Encontrar o ponto de transição em
:
- Em
, . - Para
, .
Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais. O gráfico consiste em uma linha reta
para
e uma parábola
para
, com ambos os segmentos se conectando no ponto
.
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, quando
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