Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função . Aqui, trabalharemos com funções de valor absoluto e precisaremos entender como determinar o domínio e desenhar o gráfico dessas funções.

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função valor absoluto , não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Esboço do Gráfico: Para desenhar o gráfico de , vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 4

Vamos encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal:
Esse é o ponto de virada do gráfico.

Passo 5

Agora, desenharemos duas linhas:
  1. Para , a função é uma linha reta com inclinação 2: .
  2. Para , a função é uma linha reta com inclinação -2: .

Passo 6

O gráfico resultante será uma “V” com o vértice no ponto .

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função . Aqui, trabalharemos com funções racionais e valor absoluto, precisando determinar onde a função está definida e como seu gráfico se comporta.

Passo 8

Dominio: O domínio de é determinado onde o denominador não é zero, ou seja, .

Passo 9

Vamos simplificar a função considerando os diferentes casos para o valor absoluto:
  • Caso 1:
  • Caso 2:

Passo 10

Esboço do Gráfico:
  • Para , , que é uma linha horizontal no valor 4.
  • Para , , que é uma linha horizontal no valor 2.
  • O ponto não está no domínio, então haverá uma assíntota vertical em .

Passo 11

Vamos resolver a parte © do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Aqui, lidamos com funções definidas por partes, precisando determinar o domínio e como cada parte contribui para o gráfico total.

Passo 12

Dominio: A função está definida para todos os valores de porque não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.

Passo 13

Esboço do Gráfico:
  • Para : A função é , que é uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em 2.
  • Para : A função é , que é uma linha reta com inclinação -1 e interceptação em 1.

Passo 14

Encontrar o ponto de transição em :
  • Em , .
Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Passo 15

Finalmente, vamos resolver a parte (d) do exercício: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Aqui, também trabalhamos com funções definidas por partes, precisando determinar o domínio e como cada parte contribui para o gráfico total.

Passo 16

Dominio: A função está definida para todos os valores de porque ambos e estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio é todos os números reais.

Passo 17

Esboço do Gráfico:
  • Para : A função é , uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em 2.
  • Para : A função é , uma parábola com vértice na origem.

Passo 18

Encontrar o ponto de transição em :
  • Em , .
  • Para , .
Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais. O gráfico consiste em uma linha reta para e uma parábola para , com ambos os segmentos se conectando no ponto .

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