Encontre as superfícies de nível da função f(x, y, z) = z - x^2 - y^2. Para c = 0, 1, 2, identifique e esboce as superfícies de nível.

Passo 1

Beleza, então temos que encontrar as superfícies de nível da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis e suas representações gráficas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como representá-las para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Ela é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Ou seja, para cada valor de , temos uma superfície diferente.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Isso significa que:
Essa é a equação geral das nossas superfícies de nível para diferentes valores de .

Passo 4

Agora, vamos analisar cada valor de dado: 0, 1 e 2.
Para :
Essa é a equação de uma paraboloide circular que se abre para cima, passando pela origem.
Para :
É uma paraboloide semelhante à anterior, mas deslocada 1 unidade para cima no eixo .
Para :
Igualmente, é uma paraboloide deslocada 2 unidades para cima no eixo .

Passo 5

Para esboçar essas superfícies, podemos imaginar várias “fatias” horizontais dessas paraboloides. Conforme aumenta, a paraboloide inteira se move para cima no espaço tridimensional.

Resposta

As superfícies de nível da função para são paraboloides circulares descritas por:
Cada uma dessas superfícies é uma paraboloide que se abre para cima, deslocada 1 unidade adicional no eixo conforme aumenta.

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