Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio
, com água até uma altura
, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de água é dado por
. Suponha que o reservatório esteja sendo abastecido com uma vazão de
. Portanto a altura
e o raio
da superfície da água são funções do tempo. Observe que a forma esférica do reservatório estabelece uma relação entre as funções
e
.
(b) Obtenha a relação entre as funções
e
menciona acima
(b) Obtenha a relação entre as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um reservatório que é meio de uma esfera com raio
. A água chega até uma altura
e precisamos descobrir como essa altura
está relacionada com o raio
da superfície da água enquanto o reservatório é abastecido. Para isso, vamos usar um pouco de geometria das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do reservatório. Como é um hemisfério, imaginamos uma esfera cortada ao meio. A relação entre a altura
da água e o raio
da superfície da água pode ser encontrada olhando para o triângulo que se forma no centro da esfera.
Passo 3
Se desenharmos uma linha do centro da esfera até a borda da superfície da água, teremos um triângulo retângulo. Os lados desse triângulo são:
- O raio da esfera,
. - O raio da superfície da água,
. - A distância do centro da esfera até a superfície da água, que é
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo. O teorema diz que:
Passo 5
Vamos expandir
:
Passo 6
Simplificando a equação, cancelamos
dos dois lados:
Passo 7
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 8
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A relação entre
e
é dada por:
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