Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de água é dado por V(h) = (pi / 3) * (3 R h^2 - h^3). Suponha que o reservatório esteja sendo abastecido com uma vazão de 16 pi m^3 / min. Portanto a altura h e o raio r da superfície da água são funções do tempo. Observe que a forma esférica do reservatório estabelece uma relação entre as funções h = h(t) e r = r(t).
(b) Obtenha a relação entre as funções h(t) e r(t) menciona acima

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um reservatório que é meio de uma esfera com raio . A água chega até uma altura h e precisamos descobrir como essa altura h(t) está relacionada com o raio r(t) da superfície da água enquanto o reservatório é abastecido. Para isso, vamos usar um pouco de geometria das esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do reservatório. Como é um hemisfério, imaginamos uma esfera cortada ao meio. A relação entre a altura h da água e o raio r da superfície da água pode ser encontrada olhando para o triângulo que se forma no centro da esfera.

Passo 3

Se desenharmos uma linha do centro da esfera até a borda da superfície da água, teremos um triângulo retângulo. Os lados desse triângulo são:
  • O raio da esfera, .
  • O raio da superfície da água, r(t).
  • A distância do centro da esfera até a superfície da água, que é .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo. O teorema diz que:

Passo 5

Vamos expandir :

Passo 6

Simplificando a equação, cancelamos dos dois lados:

Passo 7

Rearranjando os termos para isolar :

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar r(t):

Resposta

A relação entre h(t) e r(t) é dada por:

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