Determine as derivadas parciais da função:

Passo 1

Beleza, vamos ajudar você a encontrar as derivadas parciais da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e funções racionais em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é .
Derivando a primeira parte, , em relação a :
Usamos a regra da cadeia: a derivada de é .
Aqui, , então .
Portanto, a derivada é .
Agora, derivando a segunda parte, , em relação a :
Como é constante, a derivada é .
Somando as duas partes:
.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função é .
Derivando a primeira parte, , em relação a :
Usamos a regra da cadeia novamente: a derivada de é .
Aqui, , então .
Portanto, a derivada é .
Agora, derivando a segunda parte, , em relação a :
Isso é o mesmo que . A derivada é .
Somando as duas partes:
.

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais da função:
Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio , com água até uma altura , conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de água é dado por . Suponha que o reservatório esteja sendo abastecido com uma vazão de . Portanto a altura e o raio da superfície da água são funções do tempo. Observe que a forma esférica do reservatório estabelece uma relação entre as funções e .
(b) Obtenha a relação entre as funções e menciona acima
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função: com o plano , no ponto .
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: