Determine as derivadas parciais da função:
Passo 1
Beleza, vamos ajudar você a encontrar as derivadas parciais da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e funções racionais em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Derivando a primeira parte,
, em relação a
:
Usamos a regra da cadeia: a derivada de é
.
Aqui, , então
.
Portanto, a derivada é .
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
Aqui,
Portanto, a derivada é
Agora, derivando a segunda parte,
, em relação a
:
Como é constante, a derivada é
.
Como
Somando as duas partes:
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Derivando a primeira parte,
, em relação a
:
Usamos a regra da cadeia novamente: a derivada de é
.
Aqui, , então
.
Portanto, a derivada é .
Usamos a regra da cadeia novamente: a derivada de
Aqui,
Portanto, a derivada é
Agora, derivando a segunda parte,
, em relação a
:
Isso é o mesmo que . A derivada é
.
Isso é o mesmo que
Somando as duas partes:
.
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais da função:
Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio
, com água até uma altura
, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de água é dado por
. Suponha que o reservatório esteja sendo abastecido com uma vazão de
. Portanto a altura
e o raio
da superfície da água são funções do tempo. Observe que a forma esférica do reservatório estabelece uma relação entre as funções
e
.
(b) Obtenha a relação entre as funções e
menciona acima
(b) Obtenha a relação entre as funções
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: