Determine as derivadas parciais da função: z = e^(-x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é notada como .
A função é uma função composta: temos a exponencial onde . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então, vamos derivar em relação a :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
Assim como fizemos com , usamos a regra da cadeia. A função é a mesma, , então vamos derivar em relação a :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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