Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos
e uma concentração inicial de poluente de
. Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões
de água com uma concentração de poluente de
e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para
?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um reservatório que tem 8 bilhões de pés cúbicos de água com uma concentração inicial de poluente de 0,25%. Todo dia, entram 500 milhões de pés cúbicos de água com uma concentração menor de poluente, 0,05%, e a mesma quantidade sai. Queremos saber quanto tempo levará para a concentração do poluente cair para 0,10%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de diluição e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- Volume total do reservatório,
ft³ - Concentração inicial do poluente,
- Fluxo de entrada e saída,
ft³/dia - Concentração da água que entra,
- Concentração final desejada,
Precisamos descobrir o tempo
para que
.
Passo 3
Vamos modelar a mudança na quantidade de poluente no reservatório ao longo do tempo. A variação de poluente depende da entrada e da saída:
- Poluente entrando por dia:
- Poluente saindo por dia:
A equação que descreve isso é uma equação diferencial:
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial:
onde
dia⁻¹.
A solução dessa equação é:
Passo 5
Agora, substituímos os valores para encontrar
:
Primeiro, isolamos a exponencial:
Dividindo ambos os lados por 0,20:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Calculando:
Sabendo que
:
Resposta
Será necessário aproximadamente 22,18 dias para reduzir a concentração de poluente para 0,10%.
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(b) Se