Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos e uma concentração inicial de poluente de . Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões de água com uma concentração de poluente de e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para ?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um reservatório que tem 8 bilhões de pés cúbicos de água com uma concentração inicial de poluente de 0,25%. Todo dia, entram 500 milhões de pés cúbicos de água com uma concentração menor de poluente, 0,05%, e a mesma quantidade sai. Queremos saber quanto tempo levará para a concentração do poluente cair para 0,10%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de diluição e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Volume total do reservatório, ft³
  • Concentração inicial do poluente,
  • Fluxo de entrada e saída, ft³/dia
  • Concentração da água que entra,
  • Concentração final desejada,
Precisamos descobrir o tempo para que .

Passo 3

Vamos modelar a mudança na quantidade de poluente no reservatório ao longo do tempo. A variação de poluente depende da entrada e da saída:
  • Poluente entrando por dia:
  • Poluente saindo por dia:
A equação que descreve isso é uma equação diferencial:

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial:
onde dia⁻¹.
A solução dessa equação é:

Passo 5

Agora, substituímos os valores para encontrar :
Primeiro, isolamos a exponencial:
Dividindo ambos os lados por 0,20:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Calculando:
Sabendo que :

Resposta

Será necessário aproximadamente 22,18 dias para reduzir a concentração de poluente para 0,10%.

Exercícios relacionados

É verdadeiro ou falso?
© Se é convergente, então é convergente.
É verdadeiro ou falso?
(a) Se é convergente, então é convergente.
É verdadeiro ou falso?
(k) Se é monótona e limitada, então é convergente.
É verdadeiro ou falso?
(b) Se é convergente, então é convergente.