É verdadeiro ou falso?
(k) Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é monótona e limitada, então {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} que é monótona e limitada. Monótona significa que a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Limitada quer dizer que todos os termos da sequência estão dentro de certos limites, ou seja, há números que são menores e maiores que todos os termos da sequência. O que queremos saber é se, com essas duas propriedades, a sequência necessariamente converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando n tende ao infinito.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar do Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência que é monótona e limitada é convergente. Mais especificamente:
  • Se a sequência é crescente e está limitada acima, então ela converge para o seu supremo (o menor limite superior).
  • Se a sequência é decrescente e está limitada abaixo, então ela converge para o seu ínfimo (o maior limite inferior).

Passo 3

Vamos aplicar o teorema à nossa sequência {a_n}_{n=1}^{infinito}. Como ela é monótona, pode ser crescente ou decrescente. E como é limitada, ela tem limites superiores ou inferiores. De acordo com o Teorema da Convergência Monótona, essas duas propriedades garantem que a sequência vai ter um limite, ou seja, vai convergir.

Resposta

Verdadeiro. Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é monótona e limitada, então {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente.

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