É verdadeiro ou falso?
(k) Se
é monótona e limitada, então
é convergente.
(k) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma sequência
que é monótona e limitada. Monótona significa que a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Limitada quer dizer que todos os termos da sequência estão dentro de certos limites, ou seja, há números que são menores e maiores que todos os termos da sequência. O que queremos saber é se, com essas duas propriedades, a sequência necessariamente converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando n tende ao infinito.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar do Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência que é monótona e limitada é convergente. Mais especificamente:
- Se a sequência é crescente e está limitada acima, então ela converge para o seu supremo (o menor limite superior).
- Se a sequência é decrescente e está limitada abaixo, então ela converge para o seu ínfimo (o maior limite inferior).
Passo 3
Vamos aplicar o teorema à nossa sequência
. Como ela é monótona, pode ser crescente ou decrescente. E como é limitada, ela tem limites superiores ou inferiores. De acordo com o Teorema da Convergência Monótona, essas duas propriedades garantem que a sequência vai ter um limite, ou seja, vai convergir.
Resposta
Verdadeiro. Se
é monótona e limitada, então
é convergente.