É verdadeiro ou falso?
(a) Se é convergente, então é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, se uma sequência converge, então a sequência dos valores absolutos também converge. Estamos lidando com sequências numéricas e convergência. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como o valor absoluto pode afetar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Dizemos que converge para um limite se, conforme fica maior, os termos ficam cada vez mais próximos de . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, vamos pensar nos valores absolutos. A sequência simplesmente pega cada termo de e tira o sinal negativo, se tiver. Ou seja:

Passo 4

Para verificar se converge, vamos considerar dois casos:
  1. Caso : Se o limite da sequência original é um número não negativo, então tirar o valor absoluto não muda nada, já que . Assim, também converge para .
  2. Caso : Aqui, o limite dos valores absolutos será , que é positivo. Como converge para , os convergem para .

Passo 5

Em ambos os casos, independentemente do valor de , a sequência converge. Portanto, se converge, então também converge.

Resposta

Verdadeiro.

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Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de , e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
(b)
É verdadeiro ou falso?
© Se é convergente, então é convergente.
Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos e uma concentração inicial de poluente de . Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões de água com uma concentração de poluente de e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para ?