É verdadeiro ou falso?
(a) Se
é convergente, então
é convergente.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, se uma sequência
converge, então a sequência dos valores absolutos
também converge. Estamos lidando com sequências numéricas e convergência. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como o valor absoluto pode afetar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Dizemos que
converge para um limite
se, conforme
fica maior, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos pensar nos valores absolutos. A sequência
simplesmente pega cada termo de
e tira o sinal negativo, se tiver. Ou seja:
Passo 4
Para verificar se
converge, vamos considerar dois casos:
- Caso
: Se o limite da sequência original é um número não negativo, então tirar o valor absoluto não muda nada, já que . Assim, também converge para . - Caso
: Aqui, o limite dos valores absolutos será , que é positivo. Como converge para , os convergem para .
Passo 5
Em ambos os casos, independentemente do valor de
, a sequência
converge. Portanto, se
converge, então
também converge.
Resposta
Verdadeiro.