É verdadeiro ou falso?
(a) Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente, então {|a_n|}_{n=1}^{\infty} é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, se uma sequência converge, então a sequência dos valores absolutos também converge. Estamos lidando com sequências numéricas e convergência. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como o valor absoluto pode afetar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Dizemos que converge para um limite L se, conforme n fica maior, os termos ficam cada vez mais próximos de L. Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, vamos pensar nos valores absolutos. A sequência simplesmente pega cada termo de e tira o sinal negativo, se tiver. Ou seja:

Passo 4

Para verificar se converge, vamos considerar dois casos:
  1. Caso : Se o limite da sequência original é um número não negativo, então tirar o valor absoluto não muda nada, já que . Assim, também converge para L.
  2. Caso : Aqui, o limite dos valores absolutos será , que é positivo. Como converge para L, os convergem para .

Passo 5

Em ambos os casos, independentemente do valor de L, a sequência converge. Portanto, se converge, então também converge.

Resposta

Verdadeiro.

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