É verdadeiro ou falso?
(a) Se
é convergente, então
é convergente.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, se uma sequência
converge, então a sequência dos valores absolutos
também converge. Estamos lidando com sequências numéricas e convergência. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como o valor absoluto pode afetar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Dizemos que
converge para um limite
se, conforme
fica maior, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos pensar nos valores absolutos. A sequência
simplesmente pega cada termo de
e tira o sinal negativo, se tiver. Ou seja:
Passo 4
Para verificar se
converge, vamos considerar dois casos:
- Caso
: Se o limite da sequência original é um número não negativo, então tirar o valor absoluto não muda nada, já que . Assim, também converge para . - Caso
: Aqui, o limite dos valores absolutos será , que é positivo. Como converge para , os convergem para .
Passo 5
Em ambos os casos, independentemente do valor de
, a sequência
converge. Portanto, se
converge, então
também converge.
Resposta
Verdadeiro.
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Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
, e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(b)
(b)
É verdadeiro ou falso?
© Se é convergente, então
é convergente.
© Se
Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos
e uma concentração inicial de poluente de
. Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões
de água com uma concentração de poluente de
e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para
?