É verdadeiro ou falso?
(b) Se {|a_n|}_{n=1}^{\infty} é convergente, então {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente.

Passo 1

Então, a questão é: Se a sequência dos valores absolutos é convergente, isso garante que a sequência original também é convergente? Vamos usar conceitos de teoria das sequências, especialmente sobre convergência e valores absolutos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge para um limite se, conforme cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de . Ou seja, para qualquer , existe um número tal que para todo , .

Passo 3

Agora, o valor absoluto de , denotado por , é simplesmente a distância de até zero na reta real. Se é convergente, isso significa que há um número para o qual está se aproximando conforme aumenta.

Passo 4

Mas será que isso garante que também está se aproximando de algum número específico? A resposta é não necessariamente. Podemos ter situações onde os valores absolutos convergem, mas a sequência original oscila entre números positivos e negativos sem se estabilizar.

Passo 5

Por exemplo, considere a sequência . Aqui, para todo . Então, converge para 1, já que todos os termos são iguais a 1. Porém, oscila entre 1 e -1 e não converge para nenhum número específico.

Resposta

Falso. A convergência de não garante que também seja convergente.

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