É verdadeiro ou falso?
(b) Se
é convergente, então
é convergente.
(b) Se
Passo 1
Então, a questão é: Se a sequência dos valores absolutos
é convergente, isso garante que a sequência original
também é convergente? Vamos usar conceitos de teoria das sequências, especialmente sobre convergência e valores absolutos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, conforme
cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de
. Ou seja, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, o valor absoluto de
, denotado por
, é simplesmente a distância de
até zero na reta real. Se
é convergente, isso significa que há um número para o qual
está se aproximando conforme
aumenta.
Passo 4
Mas será que isso garante que
também está se aproximando de algum número específico? A resposta é não necessariamente. Podemos ter situações onde os valores absolutos convergem, mas a sequência original oscila entre números positivos e negativos sem se estabilizar.
Passo 5
Por exemplo, considere a sequência
. Aqui,
para todo
. Então,
converge para 1, já que todos os termos são iguais a 1. Porém,
oscila entre 1 e -1 e não converge para nenhum número específico.
Resposta
Falso. A convergência de
não garante que
também seja convergente.