É verdadeiro ou falso?
© Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente, então {a_n+10}_{n=1}^{infinito} é convergente.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a questão: “Se a sequência é convergente, então a sequência também é convergente”. Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e o conceito de convergência. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente e como o deslocamento de índices (como adicionar 10 ao índice) afeta essa convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge para um limite L se, à medida que n cresce, os termos se aproximam cada vez mais de L. Ou seja, para qualquer número pequeno , existe um número natural N tal que para todo , a diferença .

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência . Essa sequência começa no termo , depois , e assim por diante. Essencialmente, é a sequência original deslocada 10 posições à frente.

Passo 4

Se converge para L, isso significa que independentemente de onde você comece na sequência, os termos continuarão se aproximando de L à medida que n aumenta. Então, mesmo começando em , a sequência ainda irá se aproximar de L.

Passo 5

Para formalizar, suponha que converge para L. Então, para qualquer , existe um N tal que para todo , . Agora, considere . Para , temos que , mas como N é arbitrário, podemos escolher um novo para garantir que para todo .

Resposta

Verdadeiro. Se a sequência é convergente, então a sequência também é convergente.

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