É verdadeiro ou falso?
© Se é convergente, então é convergente.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a questão: “Se a sequência é convergente, então a sequência também é convergente”. Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e o conceito de convergência. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente e como o deslocamento de índices (como adicionar 10 ao índice) afeta essa convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge para um limite se, à medida que cresce, os termos se aproximam cada vez mais de . Ou seja, para qualquer número pequeno , existe um número natural tal que para todo , a diferença .

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência . Essa sequência começa no termo , depois , e assim por diante. Essencialmente, é a sequência original deslocada 10 posições à frente.

Passo 4

Se converge para , isso significa que independentemente de onde você comece na sequência, os termos continuarão se aproximando de à medida que aumenta. Então, mesmo começando em , a sequência ainda irá se aproximar de .

Passo 5

Para formalizar, suponha que converge para . Então, para qualquer , existe um tal que para todo , . Agora, considere . Para , temos que , mas como é arbitrário, podemos escolher um novo para garantir que para todo .

Resposta

Verdadeiro. Se a sequência é convergente, então a sequência também é convergente.

Exercícios relacionados

É verdadeiro ou falso?
(a) Se é convergente, então é convergente.
Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de , e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos e uma concentração inicial de poluente de . Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões de água com uma concentração de poluente de e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para ?
É verdadeiro ou falso?
(k) Se é monótona e limitada, então é convergente.