É verdadeiro ou falso?
© Se
é convergente, então
é convergente.
© Se
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a questão: “Se a sequência
é convergente, então a sequência
também é convergente”. Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e o conceito de convergência. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente e como o deslocamento de índices (como adicionar 10 ao índice) afeta essa convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos
se aproximam cada vez mais de
. Ou seja, para qualquer número pequeno
, existe um número natural
tal que para todo
, a diferença
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a sequência
. Essa sequência começa no termo
, depois
, e assim por diante. Essencialmente, é a sequência original deslocada 10 posições à frente.
Passo 4
Se
converge para
, isso significa que independentemente de onde você comece na sequência, os termos continuarão se aproximando de
à medida que
aumenta. Então, mesmo começando em
, a sequência
ainda irá se aproximar de
.
Passo 5
Para formalizar, suponha que
converge para
. Então, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Agora, considere
. Para
, temos que
, mas como
é arbitrário, podemos escolher um novo
para garantir que
para todo
.
Resposta
Verdadeiro. Se a sequência
é convergente, então a sequência
também é convergente.
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, e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
Considere um reservatório com um volume de 8 bilhões de pés cúbicos
e uma concentração inicial de poluente de
. Há um fluxo diário para dentro do tanque de 500 milhões
de água com uma concentração de poluente de
e um fluxo diário igual para fora do tanque, sempre mantido bem misturado. Quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluente para
?
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