Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
© integral arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções que são produtos ou compostas. Para isso, vamos precisar escolher corretamente as partes da função que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral vai ser u = arcsin x e qual vai ser dv = dx . A regra geral é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
E, consequentemente:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx (arcsin x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx para encontrar v = integral dv = integral dx = x e integrar para encontrar :

Passo 4

Com integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx , definidos, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral w = 1 - x^2 . Podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar:
dw = -2x , dx
Então:
-12 dw = x , dx
Rearranjando:
-12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2 raizw + C = -raiz1 - x^2 + C
Substituindo na integral:
integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x - (-raiz1 - x^2) + C
Retornando à nossa expressão anterior:
= x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral de integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C em relação a é:

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