Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(n) integral ln (x)^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração por partes. Para isso, precisamos identificar duas partes da nossa função: uma que vamos diferenciar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u = (ln(x))^2 e dv = dx e na nossa integral . Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = ddx [(ln(x))^2] , dx = 2 ln(x) cdot 1x , dx = 2 ln(x)x , dx e v = integral dv = integral dx = x . Para isso:

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral (ln(x))^2 , dx = u cdot v - integral v , du = (ln(x))^2 cdot x - integral x cdot 2 ln(x)x , dx
Simplificando a segunda integral:
= x (ln(x))^2 - 2 integral ln(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral u = ln(x) e dv = dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
du = 1x , dx e v = x
Então,
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral (ln(x))^2 , dx = x (ln(x))^2 - 2 ( x ln(x) - x )
Distribuindo o -2:
= x (ln(x))^2 - 2x ln(x) + 2x

Resposta

Portanto, a integral x (ln(x))^2 - 2x ln(x) + 2x + C é:
onde é a constante de integração.

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