Considere a reta
, e a esfera definida por
. Se
é um plano qualquer que passa por
, mostre que
não pode ser tangente à esfera dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta
definida por
e uma esfera dada pela equação
. O objetivo é mostrar que qualquer plano
que passa por
não pode ser tangente a essa esfera. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de planos, distância de pontos a planos e propriedades de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é
. Para encontrar o centro
e o raio
, usamos as fórmulas:
No nosso caso,
,
,
, e
. Então:
E o raio:
Passo 3
Agora, vamos considerar um plano
que contém a reta
. A equação paramétrica da reta
nos dá uma direção para o plano, e precisamos encontrar a equação geral do plano que contém essa reta. A reta
tem direção dada pelo vetor diretor
.
Para definir um plano, precisamos de um ponto e de um vetor normal ao plano. Como o plano contém a reta
, podemos usar dois vetores diretores para encontrar o vetor normal. Vamos escolher outro ponto na reta para determinar um segundo vetor no plano.
Passo 4
Vamos escolher dois pontos na reta
usando diferentes valores de
. Por exemplo:
Para
:
Para
:
Agora, temos dois pontos na reta
:
e
. O vetor
é dado por:
Como o plano contém a reta
, qualquer vetor diretor da reta está no plano.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal ao plano
, precisamos de um vetor perpendicular aos vetores diretores do plano. Já temos um vetor diretor
. Precisamos de outro vetor no plano para determinar o vetor normal.
Mas como o plano contém apenas a reta
, qualquer outro vetor no plano pode ser um múltiplo de
. Isso significa que o vetor normal seria perpendicular a
. No entanto, como qualquer vetor normal que seja perpendicular a
pode variar, não temos uma única equação para
.
Passo 6
Vamos considerar que o plano
pode ter diferentes orientações, mas todas devem conter a direção da reta
. Para que
seja tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser igual ao raio da esfera.
A fórmula da distância
de um ponto
a um plano
é:
Passo 7
Vamos encontrar a equação geral do plano
. Sabemos que ele passa pela reta
e tem vetor normal perpendicular a
. Assim, o vetor normal
deve satisfazer:
Isso porque o vetor normal é perpendicular ao vetor diretor.
Passo 8
Agora, vamos expressar a equação do plano
usando a condição acima. Vamos supor que
para simplificar (pode ser qualquer valor diferente de zero). Então:
Podemos expressar
.
Então, a equação do plano fica:
Como o plano passa pelo ponto
, substituímos na equação para encontrar
:
Então, a equação do plano é:
Passo 9
Agora, vamos calcular a distância entre o centro da esfera
e o plano
:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 10
Para que o plano seja tangente à esfera, essa distância
deve ser igual ao raio
. Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Reorganizando:
Passo 11
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais para
. Isso significa que não existe nenhum valor real de
que satisfaça a condição de tangência.
Resposta
Portanto, qualquer plano
que passa pela reta
não pode ser tangente à esfera dada.