Considere a reta L: X=(-6+2 t,-3+t,-1+t), t in R, e a esfera definida por x^2+y^2+z^2-4 x+ 2 y-4 z+4=0. Se Pi é um plano qualquer que passa por L, mostre que Pi não pode ser tangente à esfera dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta L definida por X = (-6+2t, -3+t, -1+t) e uma esfera dada pela equação x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 4z + 4 = 0. O objetivo é mostrar que qualquer plano Pi que passa por L não pode ser tangente a essa esfera. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de planos, distância de pontos a planos e propriedades de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0. Para encontrar o centro (x0, y0, z0) e o raio R, usamos as fórmulas:
x0 = -a2, y0 = -b2, z0 = -c2, R = raizx0^2 + y0^2 + z0^2 - d
No nosso caso, a = -4, b = 2, c = -4, e d = 4. Então:
x0 = --42 = 2, y0 = -22 = -1, z0 = --42 = 2
E o raio:
R = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 - 4 = raiz4 + 1 + 4 - 4 = raiz5 approx 2,236

Passo 3

Agora, vamos considerar um plano Pi que contém a reta L. A equação paramétrica da reta L nos dá uma direção para o plano, e precisamos encontrar a equação geral do plano que contém essa reta. A reta L tem direção dada pelo vetor diretor d = (2, 1, 1).
Para definir um plano, precisamos de um ponto e de um vetor normal ao plano. Como o plano contém a reta L, podemos usar dois vetores diretores para encontrar o vetor normal. Vamos escolher outro ponto na reta para determinar um segundo vetor no plano.

Passo 4

Vamos escolher dois pontos na reta L usando diferentes valores de t. Por exemplo:
Para t = 0: P1 = (-6, -3, -1)
Para t = 1: P2 = (-6+2(1), -3+1, -1+1) = (-4, -2, 0)
Agora, temos dois pontos na reta L: P1 e P2. O vetor P1P2 é dado por:
P1P2 = P2 - P1 = (-4 - (-6), -2 - (-3), 0 - (-1)) = (2, 1, 1) = d
Como o plano contém a reta L, qualquer vetor diretor da reta está no plano.

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano Pi, precisamos de um vetor perpendicular aos vetores diretores do plano. Já temos um vetor diretor d = (2, 1, 1). Precisamos de outro vetor no plano para determinar o vetor normal.
Mas como o plano contém apenas a reta L, qualquer outro vetor no plano pode ser um múltiplo de d. Isso significa que o vetor normal seria perpendicular a d. No entanto, como qualquer vetor normal que seja perpendicular a d pode variar, não temos uma única equação para Pi.

Passo 6

Vamos considerar que o plano Pi pode ter diferentes orientações, mas todas devem conter a direção da reta L. Para que Pi seja tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser igual ao raio da esfera.
A fórmula da distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 7

Vamos encontrar a equação geral do plano Pi. Sabemos que ele passa pela reta L e tem vetor normal perpendicular a d = (2, 1, 1). Assim, o vetor normal n = (A, B, C) deve satisfazer:
2A + 1B + 1C = 0
Isso porque o vetor normal é perpendicular ao vetor diretor.

Passo 8

Agora, vamos expressar a equação do plano Pi usando a condição acima. Vamos supor que A = 1 para simplificar (pode ser qualquer valor diferente de zero). Então:
2(1) + B + C = 0 implies B + C = -2
Podemos expressar C = -2 - B.
Então, a equação do plano fica:
x + B y + (-2 - B) z + D = 0
Como o plano passa pelo ponto P1 = (-6, -3, -1), substituímos na equação para encontrar D:
-6 + B(-3) + (-2 - B)(-1) + D = 0 implies -6 -3B + 2 + B + D = 0 implies -4 -2B + D = 0 implies D = 4 + 2B
Então, a equação do plano é:
x + B y + (-2 - B) z + 4 + 2B = 0

Passo 9

Agora, vamos calcular a distância entre o centro da esfera (2, -1, 2) e o plano Pi:
D = |1(2) + B(-1) + (-2 - B)(2) + 4 + 2B|raiz1^2 + B^2 + (-2 - B)^2
Simplificando o numerador:
2 - B -4 -2B + 4 + 2B = 2 - B -4 -2B +4 +2B = 2 - B -4 +4 = 2 - B
Então:
D = |2 - B|raiz1 + B^2 + (4 + 4B + B^2) = |2 - B|raiz1 + B^2 + 4 + 4B + B^2 = |2 - B|raiz5 + 4B + 2B^2

Passo 10

Para que o plano seja tangente à esfera, essa distância D deve ser igual ao raio R = raiz5. Então:
|2 - B|raiz2B^2 + 4B + 5 = raiz5
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(2 - B)^22B^2 + 4B + 5 = 5 implies (2 - B)^2 = 5(2B^2 + 4B + 5)
Expandindo:
4 - 4B + B^2 = 10B^2 + 20B + 25
Reorganizando:
0 = 10B^2 + 20B + 25 - 4 + 4B - B^2 implies 0 = 9B^2 + 24B + 21

Passo 11

Vamos resolver a equação quadrática:
9B^2 + 24B + 21 = 0
Calculando o discriminante De:
De
Como o discriminante é negativo ( De), não há soluções reais para B. Isso significa que não existe nenhum valor real de B que satisfaça a condição de tangência.

Resposta

Portanto, qualquer plano Pi que passa pela reta L não pode ser tangente à esfera dada.

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