Seja V um espaço vetorial com dim(V)=n. Mostre que se v1, ldots, vn são LI então eles formam uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um espaço vetorial que tem dimensão . O que isso significa é que qualquer base de tem exatamente vetores. A questão pede para mostrar que se temos que são linearmente independentes (LI), então esses vetores formam uma base para . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de dimensão, base e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, sabemos que a dimensão de é . Isso significa que qualquer base de tem exatamente vetores. Portanto, se conseguirmos mostrar que são suficientes para gerar , já estaremos mostrando que eles formam uma base.

Passo 4

Já sabemos que são linearmente independentes. Isso é importante porque, por definição, uma base precisa ter vetores que não são combinações uns dos outros (ou seja, ser LI).

Passo 5

Para completar, precisamos mostrar que esses vetores geram . Sabemos que a dimensão de é , e temos exatamente vetores que são LI. Em um espaço vetorial finito, se você tem vetores LI, eles automaticamente geram o espaço. Isso porque não há espaço “restante” para adicionar mais vetores sem perder a independência.

Passo 6

Portanto, juntando tudo: temos vetores que são linearmente independentes e o número de vetores igual à dimensão do espaço. Isso garante que esses vetores formam uma base de .

Resposta

Assim, concluímos que se são linearmente independentes em com , então eles formam uma base de .

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