Seja
um espaço vetorial com
. Mostre que se
são LI então eles formam uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um espaço vetorial
que tem dimensão
. O que isso significa é que qualquer base de
tem exatamente
vetores. A questão pede para mostrar que se temos
que são linearmente independentes (LI), então esses vetores formam uma base para
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de dimensão, base e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, sabemos que a dimensão de
é
. Isso significa que qualquer base de
tem exatamente
vetores. Portanto, se conseguirmos mostrar que
são suficientes para gerar
, já estaremos mostrando que eles formam uma base.
Passo 4
Já sabemos que
são linearmente independentes. Isso é importante porque, por definição, uma base precisa ter vetores que não são combinações uns dos outros (ou seja, ser LI).
Passo 5
Para completar, precisamos mostrar que esses vetores geram
. Sabemos que a dimensão de
é
, e temos exatamente
vetores que são LI. Em um espaço vetorial finito, se você tem
vetores LI, eles automaticamente geram o espaço. Isso porque não há espaço “restante” para adicionar mais vetores sem perder a independência.
Passo 6
Portanto, juntando tudo: temos
vetores que são linearmente independentes e o número de vetores igual à dimensão do espaço. Isso garante que esses vetores formam uma base de
.
Resposta
Assim, concluímos que se
são linearmente independentes em
com
, então eles formam uma base de
.