Sejam L1 e L2 retas reversas, Pi o plano que contém L1 e é paralelo a L2, Pi1 o plano que passa por L1 e é ortogonal a Pi, e o plano Pi2 que contém L2 e é ortogonal ao plano Pi.
Represente parametricamente a reta perpendicular comum às retas L1 e L2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas, e , que são retas reversas, ou seja, não se interceptam e não são paralelas. Além disso, temos alguns planos definidos em relação a essas retas:
  • : plano que contém e é paralelo a .
  • : plano que passa por e é ortogonal a .
  • : plano que contém e é ortogonal a .
O objetivo é representar parametricamente a reta que é perpendicular comum às retas e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, como retas paralelas, ortogonais e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta perpendicular comum. Como queremos uma reta que seja perpendicular a ambas e , sua direção deve ser o vetor normal aos planos que contêm essas retas.
Sabemos que:
  • contém e é paralelo a , então a direção de está no plano .
  • é ortogonal a e contém , indicando que é o plano normal a em .
  • contém e é ortogonal a , então o vetor normal de também é normal a .
Portanto, a direção da reta perpendicular comum será o vetor normal a .

Passo 3

Vamos determinar o vetor normal ao plano n = d1 times d2 . Como é paralelo a e contém , o vetor diretor de está no plano . Se tivermos os vetores diretores de e , podemos encontrar o vetor normal a usando o produto vetorial entre esses vetores.
Suponha que os vetores diretores de e sejam e , respectivamente. Então, o vetor normal a é dado por:

Passo 4

Com o vetor normal determinado, sabemos que a reta perpendicular comum tem essa direção. Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence a essa reta. Para isso, devemos encontrar os pontos nas retas e que estão mais próximos um do outro, ou seja, os pontos que definem a menor distância entre as duas retas.
Isso pode ser feito resolvendo um sistema de equações que assegura que o vetor que liga esses dois pontos seja paralelo a , garantindo a perpendicularidade.

Passo 5

Finalmente, com o vetor de direção r(t) = P + t,n e um ponto encontrado que está na reta perpendicular comum, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A forma geral da equação paramétrica de uma reta é:
onde é o parâmetro real.

Resposta

A reta perpendicular comum às retas r(t) = P + t,n e pode ser representada parametricamente por:
onde é um ponto na reta perpendicular e é o vetor normal determinado pelo produto vetorial dos vetores diretores de e .

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