Sejam
e
retas reversas,
o plano que contém
e é paralelo a
o plano que passa por
e é ortogonal a
, e o plano
que contém
e é ortogonal ao plano
.
Represente parametricamente a reta perpendicular comum às retas
e
.
Represente parametricamente a reta perpendicular comum às retas
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas,
e
, que são retas reversas, ou seja, não se interceptam e não são paralelas. Além disso, temos alguns planos definidos em relação a essas retas:
-
: plano que contém e é paralelo a . -
: plano que passa por e é ortogonal a . -
: plano que contém e é ortogonal a .
O objetivo é representar parametricamente a reta que é perpendicular comum às retas
e
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, como retas paralelas, ortogonais e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta perpendicular comum. Como queremos uma reta que seja perpendicular a ambas
e
, sua direção deve ser o vetor normal aos planos que contêm essas retas.
Sabemos que:
-
contém e é paralelo a , então a direção de está no plano . -
é ortogonal a e contém , indicando que é o plano normal a em . -
contém e é ortogonal a , então o vetor normal de também é normal a .
Portanto, a direção da reta perpendicular comum será o vetor normal a
.
Passo 3
Vamos determinar o vetor normal ao plano
. Como
é paralelo a
e contém
, o vetor diretor de
está no plano
. Se tivermos os vetores diretores de
e
, podemos encontrar o vetor normal a
usando o produto vetorial entre esses vetores.
Suponha que os vetores diretores de
e
sejam
e
, respectivamente. Então, o vetor normal a
é dado por:
Passo 4
Com o vetor normal
determinado, sabemos que a reta perpendicular comum tem essa direção. Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence a essa reta. Para isso, devemos encontrar os pontos nas retas
e
que estão mais próximos um do outro, ou seja, os pontos que definem a menor distância entre as duas retas.
Isso pode ser feito resolvendo um sistema de equações que assegura que o vetor que liga esses dois pontos seja paralelo a
, garantindo a perpendicularidade.
Passo 5
Finalmente, com o vetor de direção
e um ponto
encontrado que está na reta perpendicular comum, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A forma geral da equação paramétrica de uma reta é:
onde
é o parâmetro real.
Resposta
A reta perpendicular comum às retas
e
pode ser representada parametricamente por:
onde
é um ponto na reta perpendicular e
é o vetor normal determinado pelo produto vetorial dos vetores diretores de
e
.