Considere a reta L:r3 x-2 y+z-3=0 x-2 z=0; ache uma equação cartesiana do plano que projeta L sobre o plano x-2 y+z+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! A questão nos dá uma reta definida por duas equações e pede para encontrarmos a equação cartesiana de um plano que projeta essa reta sobre outro plano específico, que é . Então, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos, e projeções entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta 3x - 2y + z - 3 = 0 x - 2z = 0 . Ela está definida pelas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas da reta.

Passo 3

Da segunda equação x = 2z , isolamos x = 2t :
Vamos chamar , onde é o parâmetro. Assim:

Passo 4

Substituindo 3(2t) - 2y + t - 3 = 0 6t + t - 2y - 3 = 0 7t - 2y - 3 = 0 Rightarrow y = 7t - 32 na primeira equação:
x = 2t y = 7t - 32 z = t
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 5

Agora, vamos identificar os vetores diretores envolvido. A direção da reta d = (2, 72, 1) vem dos coeficientes de n = (1, -2, 1) :
E o plano sobre o qual vamos projetar, , tem a equação , cujo vetor normal é:

Passo 6

Para encontrar o plano que faz a projeção, precisamos que ele contenha a reta e seja perpendicular ao vetor normal do plano . Isso significa que o plano que buscamos, vamos chamá-lo de , deve ter um vetor normal que seja perpendicular tanto à direção da reta quanto ao vetor .

Passo 7

O vetor normal do plano nQ = d times n = i & j & k 2 & 72 & 1 1 & -2 & 1 pode ser encontrado pelo produto vetorial entre nQ = i(72 cdot 1 - 1 cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 72 cdot 1) nQ = i(72 + 2) - j(2 - 1) + k(-4 - 72) nQ = i(112) - j(1) + k(-152) e nQ = (11, -2, -15) :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é . Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2:

Passo 8

Agora, vamos usar a forma geral da equação do plano 11x - 2y -15z + D = 0 :
x = 0, y = -32, z = 0
Para encontrar 11(0) - 2(-32) -15(0) + D = 0 0 + 3 + 0 + D = 0 D = -3 , usamos um ponto que está na reta . Por exemplo, quando :
Substituindo na equação do plano:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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