Considere a reta ; ache uma equação cartesiana do plano que projeta sobre o plano .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! A questão nos dá uma reta definida por duas equações e pede para encontrarmos a equação cartesiana de um plano que projeta essa reta sobre outro plano específico, que é . Então, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos, e projeções entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Ela está definida pelas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas da reta.
Passo 3
Da segunda equação , isolamos :
Vamos chamar , onde é o parâmetro. Assim:
Passo 4
Substituindo na primeira equação:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 5
Agora, vamos identificar os vetores diretores envolvido. A direção da reta d = (2, 72, 1) vem dos coeficientes de n = (1, -2, 1) :
E o plano sobre o qual vamos projetar, , tem a equação , cujo vetor normal é:
Passo 6
Para encontrar o plano que faz a projeção, precisamos que ele contenha a reta e seja perpendicular ao vetor normal do plano . Isso significa que o plano que buscamos, vamos chamá-lo de , deve ter um vetor normal que seja perpendicular tanto à direção da reta quanto ao vetor .
Passo 7
O vetor normal do plano nQ = d times n = i & j & k 2 & 72 & 1 1 & -2 & 1 pode ser encontrado pelo produto vetorial entre nQ = i(72 cdot 1 - 1 cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 72 cdot 1) nQ = i(72 + 2) - j(2 - 1) + k(-4 - 72) nQ = i(112) - j(1) + k(-152) e nQ = (11, -2, -15) :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é . Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2:
Passo 8
Agora, vamos usar a forma geral da equação do plano 11x - 2y -15z + D = 0 :
x = 0, y = -32, z = 0
Para encontrar 11(0) - 2(-32) -15(0) + D = 0 0 + 3 + 0 + D = 0 D = -3 , usamos um ponto que está na reta . Por exemplo, quando :